弹性薄片上液滴运动的广义Cox-Voinov理论：基底柔韧性对接触线动力学的调控机制

《Journal of Fluid Mechanics》：The motion of a thin drop on an elastic sheet

本研究针对柔性基底润湿动力学中接触线运动规律不明确的问题，通过建立弹性薄片上的薄液膜润滑模型，采用四区域匹配渐近分析，推导出接触线速度与表观接触角的广义关系式。结果表明，相较于刚性基底，柔软基底会延缓液滴铺展而加速回缩，且该动力学关系与弯曲刚度无关，为软润湿系统的可控操纵提供了理论依据。

　　

在自然界和工业应用中，液体在固体表面的铺展行为至关重要，从石油开采到喷墨打印，都离不开对润湿现象的精确控制。然而，当液滴在固体表面移动时，液-气-固三相交汇的接触线处会出现一个著名的流体力学悖论：如果假设液体在固体表面无滑移，会导致接触线附近出现非物理的应力发散。为了化解这一矛盾，科学家们提出了多种模型，其中Navier滑移模型通过引入微小滑移区域来消除奇异性，成为广泛使用的解决方案。在刚性基底上，Cox和Voinov通过三区域匹配渐近分析，建立了接触线速度与表观接触角之间的经典关系（Cox-Voinov关系）。但当基底变得柔软可变形时，情况就复杂多了——基底会因流体压力、粘性应力和毛细力而发生变形，形成所谓的“湿润脊”，这使得软润湿动力学与经典润湿有着本质区别。

近年来，弹性毛细作用领域引起了广泛关注，特别是超薄弹性薄片上的润湿行为。研究表明，液滴沉积在超薄片上会诱发皱褶，而毛细力甚至能驱动薄片折叠。尽管对软润湿的研究已取得不少进展，但关于弹性薄片上接触线运动的理论分析仍属空白。Zhixuan Li和Weiqing Ren的这项研究，正是要填补这一空白，他们系统研究了预拉伸高柔性弹性薄片上薄液滴的运动规律。

研究人员在润滑近似下，推导了描述流体界面和弹性薄片演化的四阶偏微分方程组，并配以适当的边界和接触线条件。通过将经典Cox-Voinov分析拓展到柔性基底情形，他们在小滑移长度极限下进行了四区域匹配渐近分析。分析的关键在于引入了一个弯曲区域（尺度为O(ε)），其中薄片变形起主导作用。通过系统求解外部区域、弯曲区域、内部区域和中间区域的解并进行匹配，他们得到了一个核心结论：接触线速度不仅取决于流体界面与水平面的表观接触角α_app，还取决于薄片与水平面的表观接触角β_app，其关系为3Caε^-1? ～ (α_app - [√γ₁/(√γ₁+√γ₂)]β_app)³ - θ_Y³。这一广义关系式揭示了基底刚度通过影响有效接触角来调控接触线动力学：较软（或预拉伸较小）的基底会导致铺展减慢而回缩加快。值得注意的是，尽管分析假设了弯曲长度l与ε同量级，但最终关系式却与弯曲模量C_b无关，数值模拟也证实了该关系在很大弯曲模量范围内均成立。

为开展此项研究，作者主要采用了以下关键技术方法：基于润滑近似的薄液膜模型推导，将问题简化为流体界面高度h(x,t)和薄片高度g(x,t)的耦合演化方程；基于非平衡热力学的接触线条件推导，确保系统总能量耗散；针对小滑移长度、小毛细数和小弯曲长度的四区域（外部区域、弯曲区域、内部区域、中间区域）匹配渐近分析；以及使用动网格有限差分法对薄膜模型进行数值求解验证渐近结果。数值模拟的初始条件通过设定液滴初始轮廓和接触线位置来定义。

模型推导与热力学一致性

研究从流体力学模型出发，考虑二维液滴位于一维弹性薄片上。液体视为不可压缩牛顿流体，薄片用Willmore弯曲能描述，并假设其拉伸模量大、近乎不可延伸且具有均匀预拉伸应力。通过引入特征长度L、特征速度U和小参数δ（膜厚与特征长度之比），进行无量纲化后，在润滑近似下得到控制方程。关键步骤在于基于非平衡热力学原理推导接触线条件，通过计算系统总能量（界面能和薄片弯曲能）的耗散率，并令与接触线运动相关的广义力与广义流满足线性本构关系，最终得到确保能量衰减的接触线条件，包括曲率连续性、垂向力平衡以及联系接触角与速度的动力學条件。

渐近分析的核心步骤

在λ ? 1, Ca = O(ε), l = O(ε)的极限下，展开接触线速度、界面和薄片轮廓。在外部区域（远离接触线），主导平衡是表面张力与粘性力的平衡，解呈现抛物线轮廓，并定义了表观接触角α_app和β_app。在弯曲区域（尺度O(ε)），薄片弯曲能显著，分析显示薄片在接触线附近的斜率?β与弯曲模量无关，仅取决于张力比。在内部区域（尺度O(λ)），滑移起主导作用，微观接触角θ_m定义为平衡接触角θ_Y。中间区域连接弯曲区和内部区。通过精确匹配各区域的解，最终导出了广义的Cox-Voinov关系。

数值验证与动力学行为

数值模拟结果与渐近预测高度吻合。界面和薄片轮廓在不同区域均被准确捕捉。图4和图5展示了铺展过程中外部区域和弯曲区域的解与数值解的一致性，图6则验证了回缩情形。接触线速度的预测与数值结果吻合良好（图7），特别是在张力较大（基底较刚）时更接近经典Cox-Voinov关系。图8表明接触线动力学对弯曲模量变化不敏感，支持了理论预测。图9显示了液滴半径随时间演化的理论预测与模拟结果的一致性。研究还指出，铺展过程早期遵循a ～ t^1/7的Tanner律标度，后期则呈指数趋近平衡半径，其形式与刚性基底相似，仅常数因子因基底柔韧性而修正。

本研究通过系统的理论分析和数值模拟，建立了弹性薄片上液滴接触线运动的广义动力学关系。该关系表明，基底柔韧性通过改变有效接触角显著影响润湿动力学，导致铺展减速和回缩加速。这一发现深化了对软润湿物理的理解，并为涉及柔性材料的微流控、涂层和印刷等技术提供了重要的理论指导。尽管分析基于润滑近似和小斜率假设，但所发展的方法和获得的核心物理见解为后续研究更复杂体系（如大接触角、粘弹性基底）的润湿动力学奠定了基础。