基于非均匀网格与机器学习库的浅水方程离散求解方法及其在洪水模拟中的应用研究

《Environmental Modelling & Software》：Solving the discretised shallow water equations using non-uniform grids and machine-learning libraries

为解决传统洪水模型计算效率低、难以适应大规模高分辨率模拟的问题，研究人员开发了基于非均匀结构化网格的NN4PDEs（Neural Networks for Partial Differential Equations）框架，通过将离散方程重构为可解释的卷积神经网络层，实现了多分辨率子域的高效耦合计算。该研究在圆形溃坝算例中与解析解高度吻合，在Carlisle洪水事件模拟中与观测数据良好一致，显著降低了计算成本，为大规模洪水实时预报提供了可扩展的解决方案。

　　

洪水模拟作为理解洪水形成机制和制定防灾策略的重要工具，其精度和计算效率受到方程复杂度和数值方法的显著影响。尽管有限元法和有限体积法在洪水模拟中表现出良好效果，但详细水动力模型巨大的计算需求限制了其在实时预报中的应用，尤其对于大范围、高分辨率（如小于10米分辨率覆盖1000平方公里范围）的模拟场景，传统方法往往难以胜任。现有解决方案包括GPU并行计算和局部网格细化技术，但仍面临CUDA编程复杂性、GPU内存限制以及复杂水动力过程处理等挑战。

在此背景下，帝国理工学院地球科学与工程系应用建模与计算组的研究团队在《Environmental Modelling》发表了创新性研究，通过扩展其神经网络求解偏微分方程（NN4PDEs）的数值框架，引入非均匀结构化网格系统，有效提升了浅水方程（Shallow Water Equations, SWEs）的求解效率。该方法将计算域分解为多个不同分辨率的子域，在关键水动力特征区域采用高分辨率，其他区域使用较粗分辨率，通过预计算索引管理子域间的通信，实现了高效的向量化更新。

研究团队采用了几项关键技术方法：首先建立了基于卷积神经网络的离散化框架，将有限元离散操作转化为卷积滤波操作；其次设计了多分辨率子域嵌入策略，将不同网格尺寸的子域整合到单一计算域中；最后开发了基于预计算索引的halo节点通信机制，确保不同分辨率区域间的数据交换效率。研究使用了2005年英国Carlisle洪水事件的实地观测数据作为验证数据集。

研究方法与结果

2.1 控制方程

采用保守形式的浅水方程(1)-(3)，其中η表示自由水面高度h与地形B的高差（η=h-B），u和v分别表示x和y方向的流速分量，s_h表示水源项，g为重力加速度，底部摩擦项σ?_q=C_f√(u²+v²)，其中摩擦系数C_f=gn_M²η^-1/3，曼宁粗糙度系数n_M取值范围为0.01-0.2 s·m^-1/3。

2.2 基于卷积层的空间离散化

研究展示了离散化与卷积操作的等效性，定义卷积层操作f(Ψ;w)_i,j=∑_ii=-?^?∑_jj=-?^?w_ii,jjΨ_i+ii,j+jj，其中滤波器w的维度为(2?+1)×(2?+1)。有限元矩阵项可通过卷积滤波器表示，如x方向平流算子的线性有限元离散对应滤波器w_x=Δy/12×[[-1,0,1],[-4,0,4],[-1,0,1]]。

2.3 动量方程的时间空间离散

采用中心差分格式进行时间离散，吸收项采用隐式后向欧拉法处理，使用预测-校正方法确保时间二阶精度。摩擦项处理中引入小正数ε_η=10^-4避免除零错误，通过分布函数确保干湿区域的平滑过渡。

3. 非均匀网格实现

通过将域分解为多个固定分辨率子域并嵌入单一计算域，使用网格间距数组记录实际分辨率。子域间通信通过内部边界完成，根据相邻子域分辨率关系采用直接取值、平均值或复制值三种更新策略。物理边界条件通过halo节点实施，Dirichlet条件通过设置halo节点值实现，法向导数条件通过最近内节点外推实现。

4. 结果验证

4.1 圆形溃坝算例

在200m×200m域内，初始水深在r≤100m区域内为4m，其他区域为1m。使用16个子域布置，分辨率分别为6.25m、3.125m和1.5625m。模拟结果显示线性与二次元结果相似，与解析解吻合良好，非均匀网格结果与均匀网格结果接近，表明在特定区域使用低分辨率不会对结果产生不利影响。

4.2 Carlisle洪水事件模拟

模拟区域14.5km²，使用7个子域，网格间距分别为2.5m、5m和10m。时间步长0.5s，曼宁系数0.055 s·m^-1/3。模拟结果与Sheepmount、Botcherby Bridge和Denton Holme三个测站的观测数据吻合良好，水深预测值与有限体积法和间断有限元法结果一致。非均匀网格配置将线性元计算时间从3.5小时降至2.5小时，二次元从4.6小时降至3.3小时，节点数从2,324,244减少至1,111,548，降低52.2%。

研究结论与意义

该研究成功开发了适用于非均匀结构化网格的NN4PDEs框架，通过将计算域分解为多分辨率子域并嵌入单一计算域，实现了浅水方程的高效求解。方法在保持计算精度的同时显著降低了计算成本和内存需求，圆形溃坝算例验证了方法的准确性，Carlisle洪水事件模拟证明了其在实际应用中的有效性。

研究的创新性在于采用单一计算域容纳多分辨率子域，通过预计算索引管理halo节点更新，避免了传统嵌套网格方法的插值和重新网格化开销。该方法为大规模洪水模拟提供了可扩展的解决方案，特别适合在硬件资源有限的条件下部署应用。未来工作可进一步研究子域布局和网格间距的自动优化策略，以及在多GPU环境中的扩展性能，推动该方法在三维洪水建模、数据同化和逆问题求解等领域的应用。

研究结果表明，基于非均匀网格的NN4PDEs框架不仅能够有效处理复杂地形条件下的洪水模拟问题，而且为将传统数值方法与现代机器学习基础设施相结合提供了成功范例，为计算流体力学领域的发展开辟了新的技术路径。