在一维光子链中，通过对偶映射发生的两种非阿贝尔拓扑相变

《Advanced Science》：Two Types of Non-Abelian Topological Phase Transitions Under Duality Mapping in 1D Photonic Chains

非阿贝尔拓扑相变研究：基于1D光子链的p轨道耦合与隐藏对偶对称性分析，揭示两种新型相变机制及对应的非阿贝尔拓扑电荷分类，实验验证了鲁棒的多带隙拓扑边缘态。

　　在现代物理学中，探索新的拓扑相及其相关现象一直是研究的热点。拓扑相理论不仅揭示了材料中电子结构的独特性质，还推动了对新型量子态的理解。随着研究的深入，科学家们发现非阿贝尔拓扑（non-Abelian topology）在多个带隙系统中具有重要应用潜力，尤其是在光子、声波和电磁波等经典波系统中。非阿贝尔拓扑相的特性通常由非阿贝尔拓扑荷（non-Abelian topological charges）来描述，而这些荷与系统的对称性、带结构以及边缘态的形成密切相关。本文通过研究一维光子链中耦合的p轨道模式，揭示了两种非阿贝尔拓扑相变机制，并进一步验证了非阿贝尔体边对应关系的存在，为未来在不同波平台中探索非阿贝尔拓扑相和相关器件提供了新的理论基础与实验平台。

在拓扑相理论的发展过程中，传统的阿贝尔拓扑相主要依赖于对称性保护的拓扑不变量，如扎克相（Zak phase）和缠绕数（winding number）。这些不变量在对称操作下是可交换的，因此仅适用于单带隙系统。然而，当多个带隙相互纠缠时，阿贝尔不变量可能无法充分描述系统的拓扑性质，从而需要引入非阿贝尔拓扑结构。非阿贝尔拓扑相变通常涉及带节点（band nodes）的创建、湮灭、分裂和合并，这些过程能够显著改变系统的拓扑结构。在二维扩展带结构中，非阿贝尔相变可以通过带节点进入或离开单位圆（unit circle）来表征，这种变化通常伴随着非阿贝尔拓扑荷的转变。同时，另一种非阿贝尔相变机制则与带节点形成的闭合环状结构——即节点线（nodal line）有关。这种节点线在动量空间中形成闭合路径，并且可能与单位圆相交，从而引入新的拓扑特性。

本文提出了一种新的方法，利用一维光子链中p轨道模式之间的相互作用，实现对非阿贝尔拓扑相变的系统研究。通过引入旋转参数θ，研究者能够调控不同p轨道模式之间的耦合强度，并进一步揭示系统的对称性结构。具体而言，当θ = 0°时，系统中的两个p轨道模式之间没有耦合，此时可以将系统分为两个子空间，分别对应于传统SSH模型。而当θ ≠ 0°时，两个p轨道模式之间会发生耦合，从而产生非阿贝尔拓扑相变。值得注意的是，θ的引入不仅影响了带结构的演化，还揭示了系统中隐藏的二元对称性（hidden duality symmetry）。这种对称性使得具有相同阿贝尔拓扑不变量（如扎克相和缠绕数）的两个系统可能处于不同的非阿贝尔拓扑相，从而为非阿贝尔相变的研究提供了新的视角。

在实验和理论分析中，研究者发现当θ变化时，系统中会出现两种类型的非阿贝尔拓扑相变。第一种是“编织节点”型（braided-node type），其特征是Dirac节点进入或离开单位圆。这种相变通常伴随着非阿贝尔拓扑荷的显著变化，并且可以作为拓扑相变的标志。第二种是“节点线”型（nodal line type），其特点是两个带在θ变化时突然形成一条与单位圆相交的节点线。这种相变的拓扑性质更加复杂，因为它不仅涉及带节点的演化，还可能影响整个系统的拓扑结构。通过对带结构的演化进行分析，研究者发现这两种非阿贝尔相变机制在二维扩展带结构中具有不同的表现形式，并且能够通过不同的拓扑荷来区分。

此外，本文还揭示了非阿贝尔拓扑相变中的隐藏对称性。在旋转参数空间中，当θ变化时，存在一个对偶系统，其参数为θ* = π ? θ。这两个系统虽然具有相同的阿贝尔拓扑不变量，但可能处于不同的非阿贝尔拓扑相。这种对称性关系使得研究者能够在不同的参数空间中研究非阿贝尔拓扑相的演变，并进一步验证其在实验中的表现。例如，在θ = 90°时，系统处于自对偶点（self-dual point），此时非阿贝尔拓扑荷可能变得不明确。然而，随着θ的进一步变化，系统中的拓扑荷会重新定义，从而揭示非阿贝尔相变的复杂性。

为了进一步理解非阿贝尔拓扑相变的特性，研究者引入了广义四元数群Q??作为描述非阿贝尔拓扑荷的数学工具。Q??群不仅能够描述非阿贝尔拓扑相的分类，还能揭示系统中带节点和节点线之间的相互作用。通过对不同θ值下的带结构进行分析，研究者发现非阿贝尔拓扑荷的变化与带节点的移动密切相关。例如，当θ = 12.5°时，系统中的Dirac节点会移动到单位圆边界，并形成节点线，这标志着一种非阿贝尔相变的发生。而当θ = 90°时，系统中的节点线与单位圆相交，这表明系统进入了一个新的非阿贝尔拓扑相。这些结果不仅扩展了非阿贝尔拓扑相变的理论分类，还为实验验证提供了新的思路。

在实验方面，研究者通过构建一维光子链并引入旋转参数θ，成功实现了非阿贝尔拓扑相变的观察。实验中使用的光子链由三种不同材料的杆组成，其中橙色和蓝色杆由陶瓷材料制成，而青铜杆则由铜制成，被视为理想导体。通过调整θ的值，研究者能够控制不同p轨道模式之间的耦合，从而改变系统的拓扑性质。实验结果显示，当θ变化时，系统的带结构会发生显著变化，并且能够观察到非阿贝尔拓扑相变所导致的边缘态（edge states）的形成。这些边缘态在拓扑相变过程中表现出对结构扰动的鲁棒性（robustness），即它们能够在存在一定的材料吸收和缺陷的情况下仍然保持稳定。

本文还通过数值模拟和实验验证了非阿贝尔体边对应关系（bulk-boundary correspondence）。在二维扩展带结构中，非阿贝尔拓扑荷的分布能够预测边缘态的出现位置和数量。研究者通过构建不同拓扑相的光子链，并将其连接在一起，验证了在界面处的边缘态数量与非阿贝尔拓扑荷的差值之间的关系。实验结果表明，当两个系统处于不同的非阿贝尔拓扑相时，它们之间的界面处会出现边缘态，并且这些边缘态对结构扰动具有较强的鲁棒性。这表明非阿贝尔拓扑相变不仅具有理论上的意义，还能够在实际系统中实现，并且具有潜在的应用价值。

研究者进一步探讨了非阿贝尔拓扑相变的物理机制，指出节点线与单位圆的交集是其显著特征之一。这种交集不仅改变了系统的拓扑性质，还可能导致新的物理现象的出现。例如，在某些特定的θ值下，系统中的带节点会突然形成节点线，从而引发非阿贝尔拓扑相变。这种相变的出现通常伴随着非阿贝尔拓扑荷的变化，这为研究非阿贝尔拓扑相的分类提供了新的依据。此外，研究者还指出，非阿贝尔拓扑相变与传统的Dirac节点编织（braiding）机制不同，它更依赖于节点线的形成和演化。

在实验验证方面，研究者通过构建特定的光子链结构，并利用网络分析仪和有限元方法对系统的传输特性进行了测量。实验结果表明，当系统处于非阿贝尔拓扑相时，其传输谱中会出现多个峰，这些峰对应于边缘态的存在。同时，边缘态的电场分布也能够通过实验和模拟进行验证，显示出良好的局域性。此外，研究者还通过引入结构扰动，测试了边缘态的鲁棒性。实验结果表明，即使在存在一定的材料吸收和缺陷的情况下，边缘态仍然能够保持稳定，这进一步验证了非阿贝尔拓扑相变的鲁棒性。

综上所述，本文通过研究一维光子链中p轨道模式的相互作用，揭示了两种新的非阿贝尔拓扑相变机制，并进一步验证了非阿贝尔体边对应关系的存在。研究者发现，隐藏的二元对称性在非阿贝尔拓扑相变中起着重要作用，使得具有相同阿贝尔不变量的系统可能处于不同的非阿贝尔拓扑相。同时，非阿贝尔拓扑荷的变化与带节点和节点线的演化密切相关，这为理解非阿贝尔拓扑相的分类和特性提供了新的视角。实验结果表明，非阿贝尔拓扑相变不仅能够通过数值模拟进行预测，还能够在实际系统中实现，并且具有较强的鲁棒性。这些发现不仅丰富了非阿贝尔拓扑相变的理论框架，还为未来在不同波平台中探索非阿贝尔拓扑现象和相关器件提供了新的方法和思路。