基于自动编码器的谐波平衡傅里叶系数降维方法，用于多自由度齿轮系统的不确定性分析

《Results in Engineering》：Autoencoder-Based Reduction of Harmonic Balance Fourier Coefficients for Uncertainty Analysis of Multi-DOF Gear Systems

齿轮传动系统不确定性分析中，提出了一种结合自动编码器（AE）和多项式混沌展开（PCE）的非侵入式谐波平衡方法（HBM-PCE）。首先通过 Craig-Bampton 模态合成将 252 自由度系统降阶至 76，再利用 HBM 计算 100 个训练样本的傅里叶系数。随后，AE 将 1441 维傅里叶系数压缩至 1-2 维潜在空间，并通过 PCE、Kriging 和 PC-Kriging 模型映射输入参数。验证表明，该方法在 6000 个参考样本中误差低于 0.6%，计算成本较传统方法降低两个数量级，适用于多自由度高维参数空间。

　　不确定性量化（UQ）在齿轮动态模拟中经常面临“维度诅咒”这一挑战，它要求进行大量的全阶模型（FOM）评估。本文提出了一种新颖的框架，将模型降阶（MOR）与不确定性传播相结合，以克服传统HBM-PCE方法的局限性。现有方法如非侵入式HBM-PCE的一个关键限制在于，它们需要为每个响应变量（位移、速度、加速度）和每个频率点单独建立代理模型，导致计算成本高昂，特别是在现实世界中具有高频率、多自由度（DOF）的应用场景下。本文在包含十个不确定的宏观几何、微观几何和扭矩参数的多自由度齿轮系统上进行了演示。首先，使用组件模式合成（CMS）将系统从252 DOF减少到76 DOF。然后，通过HBM求解减少后的系统，获得100个训练样本。利用自编码器压缩傅里叶系数，并建立一个代理模型将不确定输入映射到潜在坐标。通过对比多项式混沌展开（PCE）、克里金（Kriging）和多项式混沌克里金（PC-Kriging）的多项式混沌展开，验证了代理模型在捕捉时域和频域中的位移、速度和加速度响应方面的效率。与6000个FOM样本进行验证，该方法实现了高精度，误差小于0.6%。本文提出的方法仅需与潜在维度数量相等的代理模型，使位移、速度和加速度的不确定性分析可以在一个工作流中完成。该方法相比传统非侵入式HBM-PCE方法将计算成本降低了超过两个数量级，使齿轮传动的不确定性分析变得高效且可扩展。

在工业应用中，研究非线性齿轮系统的动态行为对于减少振动和确保可靠性至关重要。在齿轮系统中，啮合过程引入了两种主要的激励源：静态传动误差（STE）和非线性时间变化啮合刚度（TVMS）。传动误差指的是输出齿轮的实际位置与理想位置之间的偏差，这会导致时间变化的啮合刚度，从而影响系统的动态响应。宏观和微观几何参数会影响齿轮对的啮合，而这些参数伴随着由制造公差等许多因素引起的不确定性，这些不确定性会影响系统的动态响应。不确定性在分析中起着关键作用，特别是在不确定性分析、鲁棒设计优化和可靠性分析等领域。

不确定性分为偶然不确定性和知识不确定。偶然不确定性源于固有的随机性，如制造公差，无法通过更多的数据或知识来减少。另一方面，知识不确定性源于不完全的理解和建模假设，但可以通过进一步的研究和数据收集来最小化。分析不确定输入参数对齿轮传动系统动态响应的影响需要求解非线性动态系统，通常使用时域数值积分方法（如Newmark方法）或频域方法（如谐波平衡方法（HBM））来求解。

以往的工作已经采用各种方法来处理齿轮动力学中的不确定性，包括Guerine等人使用PCE和区间方法研究了具有不确定摩擦的集总齿轮模型的影响，随后分析了两阶段齿轮传动系统的几何变化。Wei等人研究了啮合和轴承刚度、回程和激励的不确定性，使用Chebyshev包含函数、HBM和Runge-Kutta方法。Fu等人应用了回归基于的PCE和PSA来量化风力涡轮机齿轮振动中的偶然和知识不确定性。Mélot等人研究了不确定齿廓修改的影响，但他们的方法仅限于一次处理一个不确定参数。

频率响应函数（FRF）是齿轮动力学中的基本概念，量化了输入激励与输出响应之间的关系。FRF分析有助于理解齿轮行为、识别啮合频率并优化设计以避免共振。已提出了多种方法用于FRF的不确定性量化和减少，如Yang等人使用PCE和Arnoldi基于的模型降阶方法研究了不确定材料属性。Brogna等人应用了贝叶斯独立成分分析（ICA）进行随机有限元法（FEM）的FRF数据减少。Lu等人利用非参数多输出高斯过程（MOGP）结合模态分解。Padil等人结合了PCA减少的FRF输入与人工神经网络（ANN）用于损伤检测。Gibanica等人开发了一种数据驱动的模态代理模型，使用PCA和多项式/Gaussian过程代理模型。其他显著的方法包括基于正交分解（POD）的Galern和卷积自编码器，频率变换PCE，两阶段PCE和PCE与Chebyshev代理方法的结合。具有区间参数的FRF不确定性也已被广泛研究。

除了上述方法，Didier等人提出的侵入式随机谐波平衡方法（SHBM）是分析非线性、不确定系统FRF的一种成熟方法。一种SHBM的变体结合了HBM和PCE。该方法将系统投影到PCE基底上，对确定性系统应用HBM，并求解PCE系数以获得不确定频域响应。SHBM主要用于转子动力学分析。Sinou等人研究了具有横向呼吸裂纹的转子系统的随机非线性响应，考虑了轴刚度和激励力的不确定性，以及具有不对称耦合的系统。此外，Sinou等人开发了一种程序，用于估计具有各种规则和不规则非线性特征的转子系统的随机非线性响应。Panunzio等人结合了非侵入式PCE、HBM和Smolyak求积方法，以高效计算不确定非线性FRF，从而减少计算时间。Yang等人研究了一个具有横向裂纹的转子系统和参数不确定性，使用SHBM求解了开裂空轴系统的动态方程。其他SHBM的变体将HBM与Legendre插值法、多项式维度分解法、多项式代理方法、不确定响应代理函数、极角插值（PAI）方法和频率归一化方法结合，以克服Gibb现象。SHBM面临多个挑战，尤其是在高维随机空间中。随着自由度（DOF）、谐波和PCE阶数的增加，系统方程变得更大更复杂，未知数的数量呈指数增长。这种“维度诅咒”使得求解耦合系统特别困难。例如，考虑只有一个不确定参数，PCE阶数为10，23个谐波的情况，问题涉及1,410个未知数。将此扩展到我们齿轮传动系统中的10个不确定参数会导致极大的未知数数量，使得侵入式HBM-PCE方法不切实际。

在齿轮传动的不确定性分析中，仍存在重要的研究空白。虽然大多数随机HBM研究都集中在转子系统上，但涉及齿轮传动中STE和TVMS影响的研究有限。此外，据作者所知，没有全面的研究探讨了宏观和微观几何参数和负载参数的不确定性对齿轮系统频率响应的影响。因此，本文提出了一种方法，用于高效分析齿轮传动系统在不确定宏观和微观几何参数和负载下的不确定性。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。该方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

以往的研究如[54]依赖于瞬态数据来推断稳态行为，这计算成本很高。其他研究如[27]、[55]、[56]使用HBM计算稳态响应，并直接从FRF中采样，而没有减少傅里叶系数。这些方法不允许在时域和频域中重建速度和加速度，并且通常仅关注主导频率。相比之下，我们的方法直接减少了傅里叶系数，这些系数是动态系统求解的结果，使得在频域中快速且准确的UQ成为可能，并支持在广泛频率范围内的建模。

我们承认，所提出的方法是对我们之前工作的推广，但本文的研究引入了几个关键的改进。具体而言，主要的创新在于使用基于自编码器的傅里叶系数减少，而不是减少FRF本身。这使得在统一的后处理步骤中重建时域和频域响应成为可能，从而进行位移、速度和加速度的全面不确定性分析，而我们的先前工作需要为每个量单独进行工作流。此外，本文的稿件扩展了方法到具有中等维数输入空间的现实世界多自由度系统，并探讨了使用不同代理模型将潜在变量映射到输入参数的可能性。我们之前的工作集中在多保真度HBM上，用于齿轮传动系统的UQ，其中使用POD来减少傅里叶系数，并承认POD可能不足以减少傅里叶系数，尤其是在非线性系统中。本文研究的主要贡献在于对使用基于自编码器的减少的可行性进行了详细分析，特别是对于有限的样本数量。此外，本文还专注于分析潜在空间，评估不同的自编码器架构、交叉验证策略和各种输入参数不确定性的验证，这些在之前的工作[58]中并未讨论。

本文的结构如下：第2节详细描述了所提出的方法。第3节讨论了该方法在齿轮传动示例上的应用。最后，第4节提供了结论。

本文的方法通过三个顺序步骤进行不确定性传播：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统进行不确定性分析时，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

通过对比PCE、Kriging和PC-Kriging的代理模型，验证了代理模型在捕捉位移、速度和加速度响应方面的效率。结果表明，代理模型在捕捉时域和频域响应方面具有很高的效率。在本文的研究中，通过减少傅里叶系数，使得不确定性分析能够在统一的后处理步骤中完成，而不是为每个响应变量单独进行。此外，本文的方法能够高效地减少计算成本，比传统非侵入式HBM-PCE方法减少超过两个数量级，从而实现了对齿轮传动的可扩展不确定性分析。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究重点在于对齿轮传动系统进行高效不确定性分析，特别是针对不确定的宏观和微观几何参数以及负载。为了克服SHBM的挑战，我们引入了一种非侵入式方法，避免了解耦PCE和HBM问题。相反，不确定性传播分为三个顺序步骤：首先，我们为一组样本点求解HBM；其次，我们收集解的傅里叶系数，并使用非线性自编码器将其减少到最小的维度；最后，在低维潜在空间中建模不确定性，建立不确定输入参数与潜在坐标之间的关系，使用PCE、Kriging和PC-Kriging等模型。所提出的方法仅使用100个训练样本，并通过6,000个FOM样本的参考解进行验证。

在对齿轮传动系统的不确定性分析中，研究者需要关注不确定输入参数对系统频率响应的影响。本文的研究