潜伏期延迟与环境感染对肺结核传播动力学的影响：基于时滞微分方程模型的稳定性与Hopf分岔分析

《Mathematical Biosciences》：Impact of latent delay and environment infection on tuberculosis dynamics in a population

本文通过构建包含环境间接传播的时滞微分方程（DDE）模型，深入探讨了肺结核（TB）传播中潜伏期延迟（τ）和环境分枝杆菌（Mtb）感染的双重作用。研究证明了基本再生数（R0）对疾病流行的决定性影响：当R0<1时疾病自由平衡点全局稳定，当R0>1时出现唯一的地方病平衡点，并通过Hopf分岔理论揭示了潜伏延迟与环境感染的相互作用可导致结核病呈现周期性波动。该研究为解释结核病振荡现象提供了新的数学机制。

　　

Highlight

本文通过建立包含环境间接传播的时滞微分方程（DDE）模型，重点研究了潜伏期延迟和环境分枝杆菌（Mtb）感染对肺结核（TB）传播动力学的复合影响。模型分析揭示了基本再生数（R₀）的关键作用：当R₀<1时疾病自由平衡点全局稳定，而当R₀>1时会出现唯一的地方病平衡点。特别值得注意的是，当潜伏延迟（τ）超过临界值时，系统会通过Hopf分岔产生周期性振荡，这为解释结核病发病的季节性波动提供了理论依据。

模型构建

基于结核病传播机制，采用S（易感者）、E（潜伏感染者）、I（活动性结核患者）、R（康复者）和B（环境分枝杆菌）五室框架建立模型。考虑Mtb在环境中的长期存活特性（可达数月到数年），以及附着尘埃颗粒后保持传染性8-10天的特性，将环境间接传播途径纳入模型。延迟项τ用于表征结核病的平均潜伏期。

平衡点存在性

系统始终存在疾病自由平衡点P₀=(S₀,0,0)，其中S₀=A/d。当R₀>1时，通过求解系统平衡方程可得唯一的地方病平衡点P=(S,I,B)，其表达式显示环境细菌载量B与患者数量I呈正相关，而与易感者数量S_*和环境清除率ε负相关。

平衡点稳定性

定理4.1证明当R₀≤1时，疾病自由平衡点P₀对任意τ≥0全局渐近稳定。当R₀>1时，通过特征方程分析发现：当τ较小时地方病平衡点局部渐近稳定；但随着τ增大，系统特征根会出现纯虚根，预示稳定性转变。

Hopf分岔

将特征方程重构为P(λ,τ)+Q(λ,τ)e^-λτ=0的形式进行分析。通过解析函数性质判定，当延迟τ跨越临界值时，系统会发生Hopf分岔，导致地方病平衡点附近出现周期性振荡。这表明潜伏延迟与环境感染的协同作用不仅影响结核病持续存在，更决定了其呈现恒定流行或周期性波动的模式。

结论与讨论

本研究通过数学建模揭示了潜伏延迟和环境Mtb在结核病传播中的耦合效应：一方面，环境病原体存续能力可助长结核病持续流行；另一方面，潜伏延迟可能引发发病率的周期性震荡。该发现为解释中国等国家结核病年报病率的春峰冬谷现象提供了新视角，建议防控策略需同时关注环境消毒和潜伏期干预。