综述：地震成像中的定量分辨率分析：从经典理论到前沿进展

《Earth-Science Reviews》：Quantitative resolution analysis in seismic imaging: From classical theory to cutting-edge advances

本综述系统梳理了地震成像分辨率分析的理论演进，从基于均匀介质的瑞利准则、菲涅尔带分析，到适用于复杂介质的贝伊金公式、点扩散函数（PSF）计算，重点阐述了最小二乘偏移（LSM）通过求解线性反问题（涉及Hessian矩阵）来补偿不均匀照明、提升图像分辨率的机制。数值实验表明，LSM可使浅部简单构造的空间分辨率提升40–50%，深部复杂构造提升20–30%。

　　

Rayleigh's, Ricker's and Widess' criteria

在几何光学中，Rayleigh将衍射图样的峰-谷间距定义为分辨率极限。这一概念后来被引入勘探地震学，用于基于薄层模型和零相位子波评估地震成像的分辨能力。以Ricker子波为例（图1），Rayleigh分辨率极限是四分之一波长（λ/4）的薄层厚度。Ricker（1953）提出，当薄层厚度为λ/4时，复合反射波形的峰值振幅达到最大，此时定义为调谐厚度。Widess（1973）进一步指出，当薄层厚度小于λ/8时，地震响应几乎无法与单个界面的响应区分开来，因此将λ/8定义为最薄的可分辨厚度。这些经典准则为垂直分辨率分析奠定了理论基础，但其基于均匀介质和水平层状模型的假设限制了在复杂地质条件下的适用性。

Wave-equation-based resolution analysis

前述分辨率分析方法或基于均匀模型、水平靶标和对称射线路径，或依赖射线追踪计算走时，无法准确模拟有限频率波场在复杂构造中的聚焦/散焦、衍射和干涉效应。此外，分辨率极限是针对给定采集系统的最佳图像分辨率，未考虑上覆层复杂性的影响。随着计算能力的显著提升，使用单程或双程波场传播算子计算点扩散函数（PSF）来分析复杂环境下的图像分辨率已成为可能。

基于线性反演理论，Wu等人（2006）推导了分辨率矩阵（也称为LSM中的Hessian矩阵）以及采集和迁移的角谱表示点扩散函数（PSFs）。随后，基于射线、单程波方程和双程逆时偏移（RTM）的传播器被用于计算PSFs，进行目标导向或体积照明分析（Xie等人，2006；Lecomte，2008；Yan和Xie，2016）。最近，发展了多频率聚焦波束分析（Wei等人，2012, 2020）来测量复杂三维介质中的水平和垂直分辨率及清晰度。为了将地震数据纳入分辨率分析，Fu等人（2024）开发了一种数据驱动的双聚焦方法，用于角度道集，以同时估计分辨率和清晰度。

The Hessian matrix in reflectivity inversion

基于反演理论的一般框架，Tarantola（1984）将地震成像表述为一个线性反演问题来估计地下反射率。反射率反演中的L₂范数失配可以写为J(m) = ‖d_obs - d_syn(m)‖²，其中d_obs是观测数据，d_syn是合成反射数据。基于Born近似，d_syn可以通过求解线性化波方程来计算：d_syn = Lm，其中L是Born正演算子，m是期望的反射率模型。

常规偏移图像可以表示为m_mig = L^?d_obs = L^?Lm = H_am，其中L^?是偏移算子（Born正演算子L的伴随算子），H_a = L^?L是Hessian矩阵的近似。在理想情况下（全孔径采集、均匀照明），H_a近似为单位矩阵，偏移图像m_mig能真实反映地下反射率m。然而，在实际采集条件下，H_a是一个非对角矩阵，其非对角元素表征了成像点之间的串扰，导致图像模糊和振幅失真。

LSM for resolution enhancement

如公式m_mig = H_am所示，常规偏移算子L^?是线性化正演算子L的伴随算子。在具有全方位震源和接收点覆盖以及简单速度结构的情况下，L近似为一个酉算子，那么L^? ≈ L^-1。在这种情况下，常规偏移可以产生具有优异空间分辨率和振幅保持的高质量图像。然而，不规则采集系统、有限的偏移距和方位角、复杂的上覆层结构以及强烈的地震衰减等因素导致L远非酉算子。因此，常规偏移图像是真实反射率与近似Hessian矩阵（点扩散函数（PSF）在空间域的表示）的卷积，导致分辨率降低和振幅失真。

最小二乘偏移（LSM）通过求解线性反问题m_lsm = (L^?L)^-1 L^?d_obs = H_a^-1 m_mig来寻求地下反射率的最优解，从而补偿不均匀照明并提高图像分辨率。其中H_a^-1是近似Hessian矩阵的逆。LSM已从基于射线的偏移扩展到RTM（Nemeth等人，1999；Dai等人，2012；Yang等人，2018b），从声学介质扩展到各向异性、粘弹性和弹性介质（Dutta和Schuster，2014；Feng和Schuster，2017；Yue等人，2019；Yang等人，2020；Qu等人，2022），并且从仅使用一次波扩展到同时使用一次波和多次波（Zhang和Schuster，2014；Liu等人，2016）。对合成数据和野外数据的广泛应用表明，LSM可以有效抑制采集脚印，增强深层振幅，并提高空间分辨率（Wong等人，2011；Huang等人，2014；Lu等人，2018；Wang等人，2023）。近年来，深度学习也被集成到LSM框架中以提升图像质量（Kaur等人，2020；Vamaraju等人，2021；Torres和Sacchi，2022；Sun等人，2023, 2024）。

Numerical experiments

本节使用两个基准模型和一个陆地野外数据集来展示基于PSF的分辨率分析方法的可行性以及LSM在提高图像分辨率方面的有效性。

数值实验表明，传统深度偏移的空间分辨率往往随深度增加而降低，并且在复杂环境中的分辨率低于简单沉积层区域。此外，强烈的地震衰减由于相位频散和能量耗散会进一步降低图像分辨率。与传统偏移相比，LSM对于浅部简单反射层可以将空间分辨率提高40–50%，对于深部复杂构造可以提高20–30%。

Discussion

空间分辨率是地震成像的基础，它决定了区分紧密相邻的地下目标的能力。地震成像技术已从基于射线的偏移发展到波方程偏移，再到基于反演的最小二乘偏移（LSM）。这些进步的一个关键目标是提高图像分辨率，这对于矿产和石油资源的有效勘探和开发至关重要。分辨率分析旨在定量估计地下目标在不同成像条件下的可分辨性。

基于均匀介质和水平层状模型的经典分辨率准则（如Rayleigh准则、Ricker准则和Widess准则）为理解分辨率极限提供了直观的物理见解，但在复杂地质条件下适用性有限。Beylkin公式和波方程基的PSF分析方法能够更准确地描述复杂介质中的波传播效应，为分辨率分析提供了更强大的工具。LSM通过反演补偿了采集和传播效应，显著提升了图像质量，但其计算成本较高，且对速度模型精度敏感。

未来的发展方向包括开发更高效的Hessian矩阵计算和反演算法，将全波形反演（FWI）与LSM相结合，以及利用人工智能（AI）技术进一步优化成像过程和分辨率提升。

Conclusions

我们回顾了地震成像中分辨率分析的历史，从经典的基于射线的分辨率准则到先进的基于波方程的点扩散函数（PSF）方法，并测试了最小二乘偏移（LSM）在分辨率增强方面的性能。通过将PSF的椭圆拟合与Rayleigh准则相结合，我们还提出了一种通用的定量分辨率分析方法，该方法可以考虑不规则采集和复杂上覆层结构引起的PSF畸变和旋转。

在具有规则采集的简单层状模型中，基于PSF的分辨率分析与经典理论预测一致。然而，在复杂构造（如盐体）下方，PSF表现出严重的畸变和方位角变化，导致空间分辨率显著降低。LSM通过反演补偿了不均匀照明和复杂波传播效应，有效提高了图像分辨率和振幅保真度。数值结果表明，LSM是提升复杂地质条件下地震成像质量的有效工具。