基于李代数相似性变换的Jordan-Wigner表示中自旋哈密顿量的平均场和相关方法的可扩展实现

《Journal of Chemical Theory and Computation》：Scalable Implementation of Mean-Field and Correlation Methods Based on Lie-Algebraic Similarity Transformation of Spin Hamiltonians in the Jordan–Wigner Representation

通过约旦-威格纳变换将自旋系统映射为费米子，结合轨道优化的单位ary Lie-Algebraic Similarity Transformation (oo-uLAST) 和非单位ary扩展 LAST 方法，提出了一种高效处理强关联自旋系统的变分框架。实验表明，该方法在解决大尺寸（如30个自旋 site）和多种自旋值（如1/2, 1, 3/2）的系统时表现出良好的大小一致性和精度，优于传统Hartree-Fock方法。此外，通过优化EJW参数和Slater行列式，实现了对复杂几何结构（如二维晶格和二十面体多面体）的高效计算。最后，验证了该方法在磁场依赖磁化计算中的有效性。

　　近年来，科学家们发现将自旋映射为费米子可以通过Jordan-Wigner变换（JW）有效减少自旋哈密顿量中的强相关性。在费米子领域中，Hartree-Fock（HF）方法是相对直接的，能够为基态提供合理的近似。此外，基于李代数相似变换（LAST）的方法可以恢复与费米子平均场相关的相关性。其中，一种单位性LAST变体可以消除对站点顺序的依赖，而非单位性LAST则可以产生大小扩展的相关能。这些方法最初主要应用于小型自旋系统，但通过引入分析梯度，我们实现了对平均场参考和LAST参数的优化，从而能够处理更大的集群，包括具有局部自旋的系统。

在自旋系统中，相互作用通常以自旋中心之间的相互作用形式描述。例如，各向同性海森堡模型中的相互作用是通过自旋之间的标量耦合来表示的，这种模型可用于描述多核过渡金属配合物或磁性固体的性质。然而，随着站点数量的增加，状态空间的维度迅速增长，因此需要使用近似方法来获取低能态（用于解释光谱数据）或计算热平均（如温度相关的磁化率）。在这些方法中，平均场技术属于计算复杂度较低的一类。例如，投影Hartree-Fock理论（PHF）中，通过优化破缺对称性的自旋配置来恢复对称性，从而得到具有确定量子数的状态。然而，随着系统规模的增大，PHF方法的准确性会下降，这是因为其不具有大小扩展性。为了解决这个问题，可以通过构建集群基底或在破缺对称性参考中加入更多配置来提高精度。

尽管其他在量子化学中广泛应用的相关方法，如多体微扰理论、耦合簇理论或配置相互作用方法，也可以应用于自旋系统，但它们仍然在自旋表示中运行，而自旋表示中最简单的平均场态（直接乘积的自旋态）对于基态的近似效果较差。相比之下，通过Jordan-Wigner变换将自旋映射为费米子，并进一步使用扩展的Jordan-Wigner（EJW）变换，可以显著提高相关性的捕捉能力。在一般的连通图上，如二维或三维晶格，非局部的JW弦可以被简化为Thouless旋转，因此不需要对许多体相互作用进行平均场解耦。

本研究中，我们展示了如何通过分析梯度和雅可比矩阵来高效实现HF、oo-uLAST和随后的LAST方法。这种方法使得在JW变换后的自旋哈密顿量中，能够处理超过100个自旋-1/2粒子的系统。同时，我们引入了一种辅助自旋-1/2分解的方法，使得具有局部自旋大于1/2的系统能够通过EJW变换进入费米子平均场框架。这种分解方法允许我们将每个站点的自旋表示为多个辅助自旋-1/2粒子，从而能够更有效地处理费米子哈密顿量中的强相关性。

为了验证这些方法的有效性，我们对多个系统进行了基准测试，包括不同尺寸的各向同性环、XXZ模型以及J1-J2模型。在这些系统中，oo-uLAST和LAST方法的表现优于传统的HF方法，尤其是在较大的系统中。例如，在具有150个辅助自旋-1/2粒子的各向同性环中，oo-uLAST方法能够获得与精确对角化（ED）数据相当的结果。此外，通过比较oo-uLAST与PHF方法在不同自旋值和系统尺寸下的表现，我们发现oo-uLAST方法在所有自旋值和系统尺寸中都表现出更好的收敛性，尤其是在较大的系统中，其表现更加接近精确结果。

在XXZ模型中，我们对一维和二维系统进行了研究，以评估不同自旋值和系统尺寸下的相对能量误差。通过分析这些误差，我们发现oo-uLAST方法在大多数情况下都能提供更平滑的能量曲线，并且其精度通常优于传统的HF方法。此外，LAST方法虽然在某些情况下可能产生低于精确基态的能量，但其非变分性质使得它在捕捉剩余相关性方面非常有效。特别是在J1-J2模型中，LAST方法在Majumdar-Ghosh点附近表现出较高的准确性，而在其他晶格结构中则显示出更多的不规则性。

在磁场依赖的磁化研究中，我们展示了oo-uLAST和LAST方法在不同磁化区域的表现。这些方法能够通过计算不同磁化区间的能量差异来获得磁化曲线，从而更准确地描述系统在外部磁场下的响应。通过比较这些曲线与精确计算结果，我们发现oo-uLAST方法在大多数情况下能够提供合理的近似，而LAST方法则能够进一步提高精度，尤其是在磁场较强的情况下。

综上所述，通过将自旋映射为费米子并结合简单的多体方法，我们能够更有效地处理具有强相关性的自旋系统。这种方法不仅在计算上更加高效，而且在物理上也具有重要的意义。尽管在某些情况下可能会出现非变分解耦导致的能量下降，但总体而言，这些方法为研究强相关自旋系统提供了一个有力的工具。未来的工作可以进一步探索如何在费米子框架中更有效地利用对称性，以及如何通过更复杂的多体方法来提高相关性的捕捉能力。