综述：流动不稳定性与河床形态的耦合动力学：从沙丘到反沙丘和滚动波的多模式理论

《Earth-Science Reviews》：Multi-train roll waves, antidunes and bars in inclined flumes

本综述提出了一种统一的线性稳定性理论框架，用于解释明渠流动中多种河床形态（沙丘、反沙丘）与自由表面波（滚动波）的耦合形成机制。通过引入非平衡输沙模型（Exner方程）与浅水方程（Saint-Venant方程）耦合，揭示了流动弗劳德数（Fr）、宽深比（β）和颗粒相对粗糙度（d）等关键参数如何共同控制不同模式（m=0,1,2,...）不稳定性的发生与发展，为理解从亚临界到超临界流动条件下的复杂河床-水动力相互作用提供了新视角。

　　

流动不稳定性与河床形态的耦合动力学

2.1. 控制方程

该理论框架基于四个控制方程：质量守恒方程（连续方程）、动量守恒方程（Saint-Venant方程）、颗粒活性输运方程和河床高程变化方程（Exner方程）。它们共同描述了水流、泥沙输运和河床形态之间的耦合动力学。动量方程中考虑了床面剪切应力、压力梯度和湍流粘性效应。颗粒活性方程引入了非平衡输沙概念，通过弛豫时间尺度（κ?）描述泥沙活动度（φ?）趋向其稳态值（φ?_ss）的过程。Exner方程则直接将河床高程变化（?z?/?t?）与净沉积速率（φ? - φ?_ss）联系起来。

2.2. 闭合方程

为闭合方程组，采用了多个经验关系。水力阻力通过Darcy-Weisbach摩擦因子（f）计算，其值通过Keulegan方程与相对糙率（η?/d?）关联。湍流粘性（ν?）采用Boussinesq模型，与摩擦速度（u?_?）和水深（η?）成正比。颗粒扩散率（α?）则通过湍流Schmidt数（Sc）与湍流粘性关联。稳态颗粒活性（φ?_ss）被表达为Shields数（Sh）的函数，并设定了临界起动Shields数（Sh_cr）。这些闭合关系将复杂物理过程参数化，使得线性稳定性分析得以进行。

2.3. 无量纲控制参数

通过引入特征尺度（渠道宽度B?、水深η?₀、流速u?₀、颗粒活性φ?₀），将控制方程无量纲化。分析揭示了三个关键的无量纲参数：弗劳德数（Fr = u?₀/√(g?η?₀)）、相对糙率（d = d?/η?₀）和宽深比（β = B?/η?₀）。稳态流动条件将床面坡度（S）与Fr数和摩擦因子（f₀）联系起来，而基流Shields数（Sh₀）则与S、d和泥沙密度比（s）相关。这些参数共同决定了系统的稳定性特性。

2.4. 特征值问题的推导

线性稳定性分析围绕一个稳态、均匀的基流（η₀=1, u₀=e_x, φ₀=1, z₀=-βSx）展开。通过引入小扰动（εη_ε, εu_ε, εφ_ε, εz_ε）并线性化，得到了控制扰动演化的线性方程组。扰动解采用正态模式形式exp[i(k_xx + (π/2)m y - ωt)]，其中k_x为实数纵向波数，m为整数横向傅里叶模态，ω=ω_r+iω_i为复频率。将解代入线性化方程组后，问题转化为一个广义特征值问题M·T=0，其中M是稳定性矩阵，T是特征向量。色散关系由det(M)=0决定，其解给出了增长率ω_i。当ω_i>0时，基流不稳定，扰动会增长。该理论框架能够统一描述一维（m=0）和三维（m≠0）的不稳定性，包括沙丘、反沙丘、滚动波以及多种沙坝模式。

1. 3.3.
   结果

3.1. 人造水槽清水流动中的滚动波

理论应用于美国奥罗维尔坝溢洪道的实例分析。该溢洪道为矩形断面（宽54.5 m），下游段坡度较陡（24.5%），历史上多次观察到多列（m=4）、交替（m=2）和单列（m=0）滚动波的形成。卫星影像和照片显示了在不同流量（56.6至424 m3/s）下，滚动波的波长在10-65米之间变化。通过计算基流参数（水深、流速、Fr数等），并利用线性稳定性理论，可以分析不同横向模式（m）在这些特定水力条件下成为主导不稳定模式的可能性。分析表明，宽深比（β）和弗劳德数（Fr）是控制滚动波横向模式选择的关键因素。大的β值（渠道很宽）有利于更高阶模式（m>0）的发展，从而形成多列滚动波。而高的Fr数（超临界流）则是滚动波形成的必要条件。该案例表明，理论能够合理解释现场观察到的复杂波型现象。

3.2. 松散边界水槽中的反沙丘

线性稳定性理论同样适用于可动床情形，用于预测反沙丘的形成。反沙丘是一种与水面波同相位的床面形态，常见于超临界流（Fr > 1）中。理论分析表明，反沙丘的发生不仅取决于Fr数，还与泥沙输运的弛豫效应密切相关。引入的颗粒活性弛豫时间（1/κ?）是一个关键参数，它代表了流场变化后泥沙输运率调整到新平衡所需的时间。当弛豫效应显著时（κ?较小），它会抑制较短波长的扰动，使得最不稳定波长向更长波长移动。理论预测的反沙丘波长与Shields数、Fr数以及弛豫参数之间的关系，与Kennedy (1963) 等人的经典实验观测结果定性一致。这表明，非平衡输沙模型对于准确预测反沙丘动力学至关重要，传统的平衡输沙理论（瞬时调整假设）存在局限性。

3.3. 河流中的交替沙坝

理论框架的另一个重要应用是预测河流中交替沙坝的形成。交替沙坝是一种典型的三维不稳定模式（m=1），表现为在河道两侧交替出现的浅滩和深潭。线性稳定性分析成功复现了Ikeda (1984) 等人关于沙坝发生的经典稳定性图。分析表明，沙坝的发生主要受控于两个无量纲参数：宽深比（β）和颗粒粗糙度（d）。存在一个临界宽深比（β_c），当β > β_c时，系统对横向扰动（m=1）变得不稳定，交替沙坝得以生长。β_c的值强烈依赖于相对糙率d；d越小（泥沙越细），β_c也越小，意味着在更窄的河道中也可能形成沙坝。理论预测的沙坝波长约为河道宽度的2π倍，这与野外观察和实验结论相符。该分析揭示了河道几何形态和泥沙特性在塑造河床形态中的基本作用。

1. 4.4.
   讨论
   本文提出的统一线性稳定性理论框架，强大之处在于其能够用一个相对简洁的模型系统，揭示多种不同河床形态和自由表面波内在的物理联系和产生条件。理论分析指明，弗劳德数（Fr）、宽深比（β）和相对糙率（d）是划分不同不稳定区间的三个核心控制参数。Fr数主要区分了亚临界流（Fr < 1）和超临界流（Fr > 1）的行为，前者主要产生沙丘，后者则与反沙丘和滚动波关联。宽深比β则控制了不稳定性的横向模式选择，小的β倾向于二维模式（m=0），而大的β则允许甚至促进三维模式（m≥1）的发展，如交替沙坝和多列滚动波。相对糙率d通过影响床面阻力和临界Shields数，调制了泥沙输运的强度和对扰动的响应，从而影响所有类型床面形态的稳定特性。

非平衡输沙模型的引入是本研究的一个关键进展。通过颗粒活性方程引入的弛豫效应，使得理论能够描述泥沙输运相对于水流变化的滞后响应。这对于准确预测反沙丘的波长以及理解床面形态的迁移动力学至关重要。结果表明，弛豫效应倾向于稳定较短波的扰动，这与观察到的现象一致。

1. 5.5.
   结论
   本研究发展了一个统一的线性稳定性理论，该理论成功地将沙丘、反沙丘、滚动波和交替沙坝等多种明渠流动中的床面及水面形态，纳入同一个理论框架内进行解释。分析揭示了弗劳德数、宽深比和相对糙率作为关键控制参数，共同决定了不稳定性的类型、横向模式和特征波长。非平衡输沙效应的引入显著改善了对反沙丘动力学的预测能力，突出了泥沙输运弛豫时间尺度的重要性。该理论框架为理解和预测从实验室水槽到天然河流等各种尺度下的复杂河床-水动力相互作用提供了坚实的理论基础，并指明了未来研究的方向，例如探索非线性饱和状态下的形态特征以及更复杂的湍流-泥沙-床面反馈机制。