一种基于双循环自适应克里金（Kriging）的鲁棒设计优化方法，该方法能够处理随机不确定性和认知不确定性

《ENERGY CONVERSION AND MANAGEMENT》：A double-loop adaptive Kriging-based robust design optimization method with aleatory and epistemic uncertainty

鲁棒设计优化方法在混合不确定性（随机与认知）下提出双循环自适应Kriging策略，通过统一蒙特卡洛模拟构建名义期望、认知变异及混合变异的决策模型，内循环Kriging局部更新确保目标优化精度，外循环Kriging结合分层蒙特卡洛采样加速收敛，计算效率提升显著。

　　本文探讨了在随机不确定性与认知不确定性并存的情况下，稳健设计优化所面临的若干关键问题。这些问题包括缺乏统一的定量稳健性度量标准、计算负担沉重以及需要合适的搜索策略等。为了应对这些挑战，研究者提出了一种新的自适应基于克里金模型（Kriging）的稳健设计优化方法，能够同时处理随机和认知不确定性。该方法采用了一种统一的蒙特卡洛（Monte Carlo, MC）模拟技术，构建了一个用于稳健性度量的决策模型，以全面表征输出性能的期望值、仅由认知不确定性引起的变异以及由随机和认知不确定性共同作用的混合变异。为了求解该决策模型，研究者提出了一个双循环自适应克里金方法，该方法能够在有限的确定性目标计算中实现最优性和稳健性的平衡。内循环克里金模型在每个外循环样本点上进行局部更新，以确保在每个焦点元素上实现最小化和最大化操作的准确性；而外循环克里金模型则深度耦合到子集模拟优化（Subset Simulation Optimization, SSO）的每个模拟层级中，以快速收敛到最优解而不显著损失准确性。通过一个玩具案例展示了该方法的性能，并进一步通过三个实际工程案例验证了其工程适用性。

在工程结构设计过程中，不确定性与最优性是两个主要的关注点。通常，设计在不确定性框架下通过一系列设计不确定性方法进行，如稳健设计优化（Robust Design Optimization, RDO）[[1], [2], [3]]、基于可靠性的设计优化[[4], [5], [6], [7], [8], [9]]以及基于可靠性的稳健设计优化[10,11]。其中，RDO的目标是通过接近可能的最优解，同时减少不确定性的影响，从而实现最优性与稳健性的平衡。受田口（Taguchi）[12]的启发，最常用的基于统计的RDO度量方法出现在仅考虑随机不确定性的目标函数中，这需要嵌套的双循环求解过程[13]。外循环是优化过程，而内循环是基于概率方法的统计分析。这表明在解决此类RDO问题时，计算负担是关键问题。直接蒙特卡洛方法由于计算量巨大，不适用于实际工程问题。为此，许多近似方法被提出，如泰勒展开[14]、扰动方法[15,16]、单变量降维方法[17]等。为了进一步提高效率，诸如多项式混沌展开（Polynomial Chaos Expansion, PCE）[18]和克里金模型[[19], [20], [21]]等替代模型被引入以取代性能函数，从而降低计算负担。此外，还提出了一些自适应的克里金方案，以直接近似稳健性度量，使原本的双循环问题退化为单循环的确定性优化问题。然而，目前尚未有人提出用于替代模型的双循环自适应方案，该方案可以同时近似性能函数的响应和统计信息。此外，RDO在随机不确定性下适用于那些不确定性知识不足的工程场景。

为了解决缺乏知识或所谓的认知不确定性，研究者采用了可能性（或非概率）方法，如证据理论[24]、模糊集理论[25]、可能性理论[26]、区间分析[27]、信息差距决策理论[28]、p-box[29,30]和不确定性理论[31]等，以在统计视角下表征RDO问题的稳健性。一些混合方法，如基于证据理论的统一不确定性分析框架[32]、基于p-box的不确定性量化和验证框架[33]、结合贝叶斯更新和p-box的无分布模型[34]，提供了在混合（随机和认知）不确定性下解决RDO问题的可能性。由于可能性方法的多种形式，出现了多种稳健性度量的决策模型，如在区间分析框架下的模型[1, [35], [36], [37]]、信息差距理论下的模型[38]、凸模型[39]和模糊集[40]。这些决策模型试图最小化性能的变异[1, [35], [36], [37], 40]或同时最小化性能及其变异[38, 39]。然而，开发一种定量、更直观且不保守的稳健性度量仍然是关键问题，这类似于在随机不确定性下的期望值和方差。

在RDO的内循环统计分析中，每个元素或分区都嵌套了最大化（或最小化和最大化）操作。这实际上表明了一个三循环问题，其计算时间甚至比仅考虑随机不确定性下的RDO问题更长。替代模型，如径向基函数[36]、人工神经网络[35]和克里金模型[1]，也被用于取代性能函数，以减轻计算负担，特别是[1]中提出的自适应方案。然而，尚未提出任何技术来直接近似设计变量与RDO在认知不确定性下的名义统计之间的关系，更不用说那些能够同时近似性能函数响应和统计信息的方案了。缺乏统一的定量稳健性度量将是主要原因。

RDO方法已被广泛应用于各种实际工程问题，如舰载火炮多体系统[13]、直接耦合光伏-电解系统[18]、前电机冷却风扇[21]、有机朗肯循环涡轮机和热防护系统[22]、传动齿轮[23]、分段电磁缓冲器[36]、连续铸造钢[41]、传感器布置[42]、刚柔耦合卫星[43]和大直径隧道[44]等。除了基于梯度的优化方法，还采用了一些多目标优化方法，以提供一个反映偏差性和变异性的帕累托最优解，如非支配排序遗传算法[18,21,23,36,41,42]、双档案进化算法[43]、增强ε约束方法[44]、非线性优化网格自适应直接搜索[22]和子集模拟优化（Subset Simulation Optimization, SSO）[13]。这表明，开发一种合适的搜索策略也是提高RDO方法在实际工程问题中适用性的重要因素。

为了解决这些关键问题，本文提出了一种在混合（随机和认知）不确定性下的双循环自适应克里金稳健设计优化方法。基于[45,47]中提出的统一MC模拟技术，构建了一个用于稳健性度量的决策模型，该模型由三个部分组成，分别表征输出性能的期望值、仅由认知不确定性引起的变异以及由随机和认知不确定性共同作用的混合变异。本文开发了基于期望改进（Expected Improvement, EI）[46]的自适应内循环克里金方案，以取代性能函数，确保在每个焦点元素上实现最小化和最大化操作的全面最佳改进。同时，外循环克里金方案也基于EI，以考虑决策模型中加权稳健性指标的改进。在每个初始训练点和外循环克里金更新的点上，内循环克里金可能会根据相应的停止准则进行局部更新。此外，外循环的自适应方案被深度耦合到子集模拟优化（SSO）中的每个马尔可夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）模拟层级，以在外循环优化中实现快速收敛。随着MCMC样本逐步接近最优水平，所选的新增样本也通常更接近最优解。这确保了在有限的确定性目标计算中实现最优性和稳健性的平衡，从而提高了该方法在实际工程问题中的适用性。

本文的其余部分组织如下。第二部分提供了背景方法和相关技术。第三部分介绍了所提出方法的原理。第四部分使用三个典型的工程应用案例来展示该方法的性能。最后，第五部分给出了研究结论。

统一MC模拟技术是处理随机不确定性与认知不确定性的一种有效方法。在这一子节中，研究者介绍了该技术的细节。假设输入变量向量$Z$ = ($X, Y$)包含随机不确定性变量$X$，其具有联合概率密度函数（Probability Density Function, PDF），以及认知不确定性变量$Y$，其通过联合基本概率赋值（Basic Probability Assignment, BPA）进行表示。研究者考虑了数学形式$G$ = $g$($X, Y$)，通过该形式，两种类型的不确定性$Z$ = ($X, Y$)被传播到模型中。统一MC模拟技术能够同时处理这两种不确定性，从而为后续的优化和稳健性分析提供坚实的基础。

在本节中，基于方程（8），研究者构建了一个用于稳健性度量的决策模型，并通过所提出的双循环自适应克里金稳健设计优化方法进行求解。该方法的具体步骤和实施过程被详细列出。通过一个玩具案例，研究者展示了该方法的性能。该案例设计简单，能够有效验证所提出方法的基本原理和计算流程。

为了进一步研究所提出方法在实际工程问题中的性能，本文在第四部分中测试了三个典型的工程应用案例，包括舰载火炮的振动吸收问题、小型航空发动机的结构效率问题以及风力涡轮齿轮对的接触应力问题。这些案例涵盖了多个工程领域，能够全面展示该方法的适用性和有效性。通过这些实际案例的分析，研究者验证了所提出方法在处理复杂工程问题时的稳定性、计算效率和优化能力。

本文提出的双循环自适应克里金稳健设计优化方法在混合不确定性下的应用具有重要的现实意义。该方法能够实现最优性和稳健性的平衡，同时显著降低计算负担而不显著损失准确性。在实际工程问题中，这一方法能够有效应对随机和认知不确定性并存的情况，为设计提供更可靠和鲁棒的解决方案。此外，该方法还能够适应不同类型的不确定性，如区间分析、模糊集理论和证据理论等，从而提高其在不同工程场景中的适用性。

在方法的实施过程中，内循环克里金模型的自适应更新策略起到了关键作用。通过基于期望改进（EI）的自适应方案，内循环克里金模型能够在每个焦点元素上实现最小化和最大化操作的全面最佳改进。这确保了在优化过程中，性能函数的响应和统计信息能够被准确计算。同时，外循环克里金模型的自适应策略也基于EI，以考虑决策模型中加权稳健性指标的改进。这使得外循环优化能够在有限的计算资源下实现较高的收敛速度和优化质量。

在实际应用中，MCMC样本的逐步优化是实现外循环优化的关键步骤。通过将当前水平的MCMC样本作为测试样本，研究者确保了新增样本在逐步接近最优水平的过程中能够更接近最优解。这不仅提高了计算效率，还确保了优化结果的稳健性和可靠性。通过这一策略，研究者能够在实际工程问题中实现更高效的优化过程。

在工程应用案例的分析中，研究者展示了该方法在不同场景下的适用性。例如，在舰载火炮的振动吸收问题中，该方法能够有效减少由于认知不确定性引起的性能波动，同时确保在随机不确定性下的最优设计。在小型航空发动机的结构效率问题中，该方法能够优化设计参数，以在保证结构强度的前提下提高效率。在风力涡轮齿轮对的接触应力问题中，该方法能够优化齿轮设计，以减少由于不确定性引起的应力波动，从而提高齿轮的使用寿命和可靠性。

这些案例的分析表明，所提出的方法在处理实际工程问题时具有较高的灵活性和适应性。通过统一MC模拟技术，该方法能够有效处理随机和认知不确定性，并通过自适应克里金模型实现高效的优化过程。在实际应用中，该方法能够显著降低计算负担，同时保持较高的优化质量，从而提高其在实际工程问题中的适用性。

在结论部分，本文总结了所提出方法的主要贡献。首先，研究者提出了一种加权稳健性指标，以全面衡量稳健性，包括输出性能的期望值、仅由认知不确定性引起的变异以及由随机和认知不确定性共同作用的混合变异。这一指标能够引导在混合不确定性下的最优性和稳健性的良好平衡。其次，研究者首次提出了在混合不确定性下的双循环自适应克里金稳健设计优化方法。该方法通过内循环克里金模型的自适应更新，确保在每个焦点元素上实现最小化和最大化操作的全面最佳改进，从而实现性能函数响应的准确基本概率赋值（BPAs）。同时，外循环克里金模型的自适应策略也基于EI，以考虑决策模型中加权稳健性指标的改进。最后，研究者通过将当前水平的MCMC样本作为测试样本，确保在逐步接近最优水平的过程中，新增样本能够更接近最优解，从而在有限的计算资源下实现最优性和稳健性的平衡。

通过这些研究，本文为稳健设计优化在处理混合不确定性方面提供了一种新的思路和方法。该方法不仅能够有效应对随机和认知不确定性并存的情况，还能够在实际工程问题中实现较高的计算效率和优化质量。这为工程设计提供了更可靠和鲁棒的解决方案，具有重要的实际应用价值。同时，该方法也为进一步研究稳健性度量和优化策略提供了理论基础和技术支持。

在实际工程问题中，不确定性是一个不可避免的因素，而稳健性则是确保设计在不确定性下仍能保持性能的关键。因此，开发一种能够同时处理随机和认知不确定性的稳健设计优化方法具有重要意义。本文提出的双循环自适应克里金方法能够在这一框架下实现高效的优化过程，同时确保稳健性度量的准确性和全面性。这不仅提高了计算效率，还增强了设计的鲁棒性，为实际工程问题提供了更可靠的解决方案。

在工程应用案例的分析中，研究者展示了该方法在不同场景下的适用性。通过这些案例，研究者验证了该方法在处理复杂工程问题时的稳定性、计算效率和优化能力。这些案例涵盖了多个工程领域，包括舰载火炮、航空发动机和风力涡轮齿轮等，能够全面展示该方法的适用性和有效性。此外，这些案例还表明，该方法能够在实际工程问题中实现较高的计算效率和优化质量，从而提高其在实际工程问题中的适用性。

通过这些研究，本文为稳健设计优化在处理混合不确定性方面提供了一种新的思路和方法。该方法不仅能够有效应对随机和认知不确定性并存的情况，还能够在实际工程问题中实现较高的计算效率和优化质量。这为工程设计提供了更可靠和鲁棒的解决方案，具有重要的实际应用价值。同时，该方法也为进一步研究稳健性度量和优化策略提供了理论基础和技术支持。

在实际工程问题中，不确定性是一个不可避免的因素，而稳健性则是确保设计在不确定性下仍能保持性能的关键。因此，开发一种能够同时处理随机和认知不确定性的稳健设计优化方法具有重要意义。本文提出的双循环自适应克里金方法能够在这一框架下实现高效的优化过程，同时确保稳健性度量的准确性和全面性。这不仅提高了计算效率，还增强了设计的鲁棒性，为实际工程问题提供了更可靠的解决方案。

在方法的实施过程中，内循环克里金模型的自适应更新策略起到了关键作用。通过基于期望改进（EI）的自适应方案，内循环克里金模型能够在每个焦点元素上实现最小化和最大化操作的全面最佳改进，从而实现性能函数响应的准确基本概率赋值（BPAs）。同时，外循环克里金模型的自适应策略也基于EI，以考虑决策模型中加权稳健性指标的改进。这使得外循环优化能够在有限的计算资源下实现较高的收敛速度和优化质量。

在实际应用中，MCMC样本的逐步优化是实现外循环优化的关键步骤。通过将当前水平的MCMC样本作为测试样本，研究者确保了新增样本在逐步接近最优水平的过程中能够更接近最优解。这不仅提高了计算效率，还确保了优化结果的稳健性和可靠性。通过这一策略，研究者能够在实际工程问题中实现更高效的优化过程。

通过这些研究，本文为稳健设计优化在处理混合不确定性方面提供了一种新的思路和方法。该方法不仅能够有效应对随机和认知不确定性并存的情况，还能够在实际工程问题中实现较高的计算效率和优化质量。这为工程设计提供了更可靠和鲁棒的解决方案，具有重要的实际应用价值。同时，该方法也为进一步研究稳健性度量和优化策略提供了理论基础和技术支持。