基于修正幂散度统计量的方形列联表对称性偏离可视化分析新方法

《Psychometrika》：Visualization for departures from symmetry with the power-divergence-type measure in square contingency tables

本文推荐一种针对方形列联表对称性分析的新型可视化方法。研究人员通过引入修正幂散度统计量Φ?(λ)，构建了与样本量无关的对称性偏离度量体系。该方法利用奇异值分解技术将非对称信息转化为二维对应分析图，通过三角形面积直观呈现类别间偏离程度。研究证实了该方法的样本量无关特性，使得不同规模列联表的比较分析成为可能，为品牌偏好迁移、医学随访等纵向研究提供了新的分析工具。

　　

在医学随访、市场调研和社会科学研究中，我们常常会遇到行和列分类完全相同的二维表格——这种特殊的 contingency table（列联表）被称为方形列联表。比如比较患者治疗前后症状变化，或者调查消费者对不同品牌的两次购买选择。这类表格有个显著特点：数据往往集中在对角线附近，随着远离对角线而递减。这种特殊的结构使得传统的独立性检验方法力不从心，研究者更关注的是行变量和列变量之间是否呈现对称关系。

对称性分析的核心在于探究两个时间点或不同群体间分类变量的过渡模式。以咖啡品牌选择数据为例，如果我们发现消费者从品牌A转向品牌B的数量，与从品牌B转向品牌A的数量存在显著差异，这就构成了对称性偏离。传统方法虽然能通过Bowker检验判断是否存在不对称，但无法直观展示各个品牌之间的具体偏离模式，更难以比较不同规模调查结果的差异。

针对这一难题，东京理科大学、明成大学和京都女子大学的研究团队在《Psychometrika》上发表了一项创新研究，提出了基于修正幂散度统计量的可视化分析方法。该方法不仅能够精确量化对称性偏离程度，还能通过直观的图形展示各个类别之间的非对称关系。

研究团队首先引入了Tomizawa等人提出的幂散度型测度Φ^(λ)，该测度基于Cressie-Read幂散度统计量构建，但关键创新在于使用了条件概率p_ij^* = p_ij/δ（其中δ为非对角线单元格概率总和），从而确保测度值始终落在0到1之间，且与样本量无关。这一特性使得不同规模的研究结果可以直接比较，解决了传统方法因样本量差异导致的比较难题。

技术方法上，研究团队构建了偏斜对称矩阵S_skew(λ)，其元素s_ij = sign(p?_ij - p?_ji)√φ?_ij^(λ)（当i≠j时），对角线元素设为0。通过对该矩阵进行奇异值分解(SVD)，得到行和列类别的主坐标。特别值得注意的是，由于偏斜对称矩阵的特殊性质，行坐标和列坐标存在确定的关系转换，因此只需绘制行坐标即可完整呈现对称性偏离信息。此外，研究还建立了置信区域构建方法，为结果的可视化解释提供了统计可靠性保障。

数值实验验证

研究团队以Grover和Srinivasan的咖啡品牌选择数据为例进行了方法验证。该数据记录了消费者对五种无咖啡因咖啡品牌的首次和二次购买选择。通过分别应用λ = -1/2、0、2/3、1参数（对应Freeman-Tukey、KL散度、Cressie-Read和Pearson散度统计量），生成了四组对应分析图。

结果显示，Brim品牌在所有参数下都靠近坐标原点，表明其首次和二次购买选择差异较小；而High Point品牌则远离原点，显示出明显的对称性偏离。通过观察品牌点在对应分析图中的位置关系，研究发现位于主坐标轴正方向的品牌（如Taster's Choice、Sanka和Brim）在第二次选择时购买人数增加，而位于负方向的品牌（如High Point和Nescafé）则出现购买人数减少。这一发现表明主坐标轴能够有效反映各品牌购买人数的整体变化趋势。

方法比较优势

与Beh和Lombardo提出的方法相比，本研究方法的独特优势在于其样本量无关性。通过使用修正幂散度统计量，研究者能够直接比较不同样本规模的多个方形列联表，甚至可以对多个表格进行求和与差分成分的联合分析。

研究团队以1989年综合社会调查数据为例，对比分析了人们对"青少年发生婚前性行为"和"成年人发生婚前性行为"的态度差异。尽管两个问题的样本量相差五倍之多（356 vs 70），但通过构建8×8的块矩阵并进行奇异值分解，成功实现了对两个表格求和与差分成分的可视化分析。求和成分的图示显示所有响应类别都远离原点，表明两个群体在性态度上均存在明显的对称性偏离；而差分成分的图示则显示各类别靠近原点，说明两个群体的态度模式具有高度一致性。

研究结论与意义

本研究提出的基于修正幂散度统计量的可视化方法，为方形列联表的对称性分析提供了新的技术路径。其主要创新点和意义体现在以下几个方面：

首先，方法通过使用条件概率和适当的归一化处理，确保了对称性测度的样本量无关性。这一特性使得研究者能够进行跨研究、跨时间的比较分析，大大提升了方法的应用价值。

其次，方法具有良好的通用性，通过调整参数λ可以涵盖多种著名的散度统计量（如Freeman-Tukey、KL散度、Cressie-Read和Pearson散度），满足了不同研究场景的需求。

第三，可视化结果具有直观的几何解释：任意两个类别点与原点形成的三角形面积，近似反映了这两个类别间的对称性偏离程度s_ij。这种直观的几何关系大大增强了解释的便利性。

最后，方法还提供了置信区域的构建方案，为结果的可视化解释提供了统计可靠性保障，增强了研究结论的科学性。

该方法的提出不仅丰富了对称性分析的技术工具箱，更为医学随访研究、市场调研、社会科学调查等领域的纵向数据分析提供了强有力的分析工具。通过将复杂的统计信息转化为直观的图形展示，该方法有助于研究者快速把握数据中的核心模式，发现潜在规律，推动相关领域的科学决策和实践应用。