基于共单调性的时间序列聚类及其约束：综述与概念框架

《Environmetrics》：Comonotonic-Based Time Series Clustering With Constraints: A Review and a Conceptual Framework

时间序列聚类在地理参考数据中整合时空依赖，本文提出Triple-C框架，通过异质性融合或Copula聚合策略，将空间约束与时间序列的依赖结构结合，采用非参数Copula方法和基于尾依赖的度量，验证其在合成数据与气候极端事件分析中的有效性，优化聚类结果的空间连贯性和时间同质性。

　　时间序列聚类是一种广泛使用的无监督学习方法，它通过识别相似的时间序列来揭示复杂数据集中的隐藏模式。近年来，这种方法在分析带有空间信息的时间序列数据中获得了广泛应用，因为需要将空间信息整合到距离度量中，以获得更有意义的结果。本文旨在全面回顾基于距离度量的聚类方法，并特别关注那些将软空间约束融入聚类过程中的方法。我们的重点是基于Copula的时间序列聚类技术，这种方法能够有效捕捉时间序列之间的依赖关系，而不需要显式建模它们的边缘分布。我们首先介绍了一种通用的基于Copula的时间序列聚类框架，然后探讨了如何将空间约束嵌入到聚类过程中。最后，我们提出了一种通用框架，称为Triple-C，该框架通过两种主要的模型架构解决了这一挑战，分别是距离融合步骤或Copula聚合方法。

时间序列数据通常由一个或多个随时间变化的变量组成，这些变量在环境科学、工程、医学、经济学和金融等多个领域被广泛记录和分析。在缺乏足够的先验知识的情况下，聚类作为一种强大的数据挖掘技术，被用来将这些时间序列数据划分为有意义的组别。为了更好地理解时间序列之间的关系，尤其是它们在空间上的相互作用，许多研究强调了在地理参考数据中纳入空间信息的重要性。在这些场景中，形成具有地理接近性的聚类可以显著提高结果的可解释性。

基于Copula的聚类方法允许将时间序列之间的依赖关系作为聚类过程的一部分。这些方法通常通过某种形式的统计模型生成时间序列，而聚类则是基于这些模型的参数估计或残差。一些常用的方法包括ARMA/ARIMA模型、GARCH模型等。此外，将时间序列视为功能数据的新方法也引起了特别的兴趣，尤其是在气候科学中。在环境科学中，一些研究已经引入了基于Copula的方法，用于检测时间序列之间的共动性，例如降水最大值、温度或洪水风险等。

本文讨论了基于Copula的时间序列聚类方法，特别关注那些可以结合空间信息但不强制要求聚类内时间序列具有严格空间邻近性的软空间约束方法。这种方法的核心在于利用Copula来描述时间序列之间的依赖结构，而不是仅关注它们的边缘分布。在环境科学中，这种方法被用来识别具有相似行为的区域，例如在气候系统中检测共动性。同时，我们还介绍了Triple-C算法，该算法提供了两种模型架构，分别采用距离融合或Copula聚合的方法，以实现时间序列的聚类。

在时间序列聚类过程中，通常需要一个明确的距离度量来评估不同时间序列之间的相似性或差异性。这种度量可以基于时间序列的特性，如自相关、偏自相关、频谱图、分位数等。在模型基础上，时间序列通常假设是由某种随机过程生成的，聚类则基于时间序列之间的相似性。基于Copula的方法能够捕捉时间序列之间的共动性，而不依赖于它们的边缘分布。因此，这种方法特别适用于那些需要关注时间序列之间依赖关系的场景。

本文还探讨了如何将空间信息整合到时间序列聚类中。传统的聚类方法可能无法充分考虑空间信息，导致聚类结果在空间域中分散。为了解决这一问题，一些研究提出了在聚类过程中引入空间信息的策略。这些方法可以分为两类：一类是将空间信息作为距离度量的一部分，通过距离融合步骤将其与时间序列的依赖关系结合起来；另一类是将空间信息作为Copula的一部分，通过Copula聚合方法将其与时间序列的依赖关系融合。这种方法能够在不牺牲时间序列依赖关系的同时，提高聚类结果的空间一致性。

在实际应用中，数据通常包含空间属性，如地理坐标，这些属性可以用来衡量时间序列之间的空间接近性。通过将这些空间属性转换为距离矩阵，可以将其与时间序列的距离度量结合，从而得到一个综合的距离度量。这种综合的距离度量能够同时考虑时间序列的依赖关系和空间接近性，从而提高聚类结果的解释性。在某些情况下，这种方法可以通过引入一个超参数来调整空间信息对聚类过程的影响，从而实现软空间约束。

此外，本文还讨论了聚类结果的验证和超参数的选择。在选择超参数时，需要考虑不同聚类方法的性能，例如基于轮廓系数或Dunn指数的验证方法。这些方法能够帮助评估聚类的质量，并选择最优的聚类数量。通过实验和示例，我们展示了如何在不同的数据集上应用Triple-C算法，包括合成数据和实际的气候数据。结果表明，这种方法能够有效识别具有相似时间行为的区域，并在空间上保持一定的连贯性。

最后，本文总结了基于Copula的时间序列聚类方法在不同领域的应用前景。尤其是在环境科学中，这种方法能够帮助分析复杂的时空变化，并为极端事件的风险评估提供支持。未来的研究可以进一步探索如何优化这些方法，特别是在如何选择合适的超参数和如何改进聚类结果的验证方面。同时，我们也可以考虑在聚类过程中直接引入空间惩罚项，以提高模型的空间一致性。这些研究方向将有助于更全面地理解和应用基于Copula的时间序列聚类方法。