基于动态正交投影的AHP不一致性处理新方法及其在决策支持中的应用研究

《Knowledge-Based Systems》：Integrated Dynamic Projection and Graphon-Based Framework for Robust Pairwise Comparison in Analytic Hierarchy Process

本研究针对层次分析法（AHP）中判断矩阵（PCM）存在的不一致性和缺失数据问题，提出了一种基于动态正交投影和加权子空间分解的创新方法。通过构建自适应正交基和SVD驱动的 inconsistency measure (μ(R))，实现了对PCM的高精度一致性修正和权重计算。该方法在Frobenius误差、鲁棒性和计算效率上优于传统EM、LLSM、GMM等方法，为复杂决策场景提供了更可靠的数学基础。

　　

层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）作为多准则决策的重要工具，其核心在于通过构造两两比较判断矩阵（Pairwise Comparison Matrix, PCM）来量化决策者的主观偏好。然而，实际应用中PCM常面临两个关键问题：一是由于人类认知局限性导致的矩阵不一致性（inconsistency），例如违反传递性规则（a_ij·a_jk≠a_ik）；二是大规模决策场景中不可避免的数据缺失问题。传统方法如特征向量法（Eigenvector Method, EM）、最小二乘法（LLSM）等虽被广泛使用，但对不一致性结构的适应性不足且缺乏对缺失数据的有效处理机制。

为解决这些难题，本研究提出了一种基于动态正交投影的数学框架。该方法首先通过对数变换将乘性PCM转化为加性矩阵R，进而将R分解为一致性子空间R（满足r_ij=v_i-v_j）和不一致子空间R^⊥。创新性地构建了动态正交基{F′_i}，其通过标准基E_i与不一致分量u_i的线性组合（F_i=E_i+α_iu_i）实现基向量的情境自适应调整。通过加权投影操作P(R)=∑?R,F′_i?_RF′_i，最终获得最小Frobenius范数意义下的最优一致矩阵。

关键技术方法包括：1）基于Gram-Schmidt过程的动态正交基构造；2）SVD驱动的 inconsistency measure μ(R)=∑|?R,G_hk?_R^⊥|/σ_max；3）针对不完全矩阵的连通性加权补全策略（β_p∝e^-length(p)）；4）基于Frobenius内积的空间投影算法。实验数据来源于随机生成的3×3至10×10 PCM矩阵，包含不同缺失率（最高达50%）和噪声水平（σ=0.1-0.3）。

主要研究结果

定理1：动态基的误差收敛性

证明当调整系数α_i∈[-?,?]时，投影误差∥R-P(R)∥_F严格小于静态基投影，为方法提供理论保障。

定理2：加权投影的优越性

通过引入方差倒数权重w_i=Var^-1(r_i,n)/∑Var^-1(r_j,n)，显著降低高方差比较项对权重计算的干扰，使权重向量v更贴近真实偏好。

定理4：不一致性度量创新

提出基于奇异值分解的μ(R)指标，较传统一致性比率CR能更精准捕捉循环偏差（cyclic deviation），如当a₁₂a₂₃≠a₁₃时μ(R)>0。

实证分析

在3×3 PCM案例中（A=[[1,2,3.1],[0.5,1,1.5],[0.322,0.667,1]]），本方法获得权重w=(0.549,0.272,0.180)^T，其权重比w₁/w₂=2.022与原始比较值a₁₂=2高度吻合。Frobenius误差仅0.0268，远低于模糊AHP方法的0.0984。在计算效率方面，耗时0.231ms与LLSM（0.0002ms）相当，但显著优于EM（30.088ms）。

讨论与意义

本研究通过引入函数分析理论，将PCM的一致性问题转化为希尔伯特空间中的正交投影问题，为AHP理论提供了新的数学范式。动态基构建机制有效克服了传统方法对固定 inconsistency模式的依赖，而加权策略则提升了算法在群体决策场景中的鲁棒性。特别地，针对不完全PCM设计的连通性加权补全方法，确保了在缺失率达50%时仍能维持秩次稳定性（rank stability）。

该方法已被证明在中小规模决策问题（n≤10）中具有显著优势，未来可扩展至大规模网络决策分析。相关算法已集成至Python决策支持库，为智能决策系统提供了新的理论基础和工具支撑。论文发表于《Knowledge-Based Systems》，标志着AHP理论研究从经验方法向精确数学建模的重要转变。