基于适应度引导聚类与个体进化差分进化的非线性方程组求解新方法

《Expert Systems with Applications》：Solving nonlinear equation systems based on Fitness-Guided clustering with individual evolutionary differential evolution

本文针对非线性方程组(NES)多解求解难题，提出了一种融合适应度引导聚类与个体进化局部搜索的创新框架(FG-IELRSA)。研究团队设计了融合空间位置与适应度信息的距离度量方法以提升多解结构辨识能力，结合个体进化差分进化算法加速收敛，并引入核密度估计(KDE)与排斥技术精确定位多解。在48个基准函数上的实验表明，该框架在求解效率与稳定性方面均优于现有先进方法，为复杂非线性系统多解定位提供了有效工具。

　　

在数值计算领域，非线性方程组（Nonlinear Equation Systems, NES）的求解一直被视为最具挑战性的问题之一。这类系统不仅广泛存在于数学研究领域，更在物理学、数字信号处理、自动控制、电网系统等诸多学科与工程领域扮演着关键角色。非线性方程组的独特之处在于，其往往存在多个最优解（即多个根），且每个解在实际应用中可能都具有同等的重要性。这为求解过程带来了巨大困难：如何在单次运行中同时定位到所有真实根，并保证求解的精度与效率，成为研究者们长期攻克的焦点。

传统上，结合多群体维持机制与局部搜索算法已成为求解NES多解问题的主流思路。其中，排斥技术（repulsion technique）通过在被发现解周围构建排斥区域来引导新解的搜索；而聚类技术（clustering）则将种群划分为相似的子群，实现多区域并行搜索。然而，这两种方法均存在明显局限：排斥技术对预设的排斥半径极为敏感，半径过大易遗漏邻近根，过小则导致搜索效率低下；传统聚类方法仅依赖空间距离，难以区分相邻根与相同解，易产生错误分组。另一方面，进化算法（Evolutionary Algorithms, EAs）虽具备强大的全局搜索能力且不依赖梯度信息，但普遍存在收敛速度慢、参数敏感、计算成本高等问题。

为解决上述挑战，来自上海大学管理学院的Yangyang Shen、Huali Sun、Chenxin Ma、Minfu Ma和Chang Gao研究团队在《Expert Systems with Applications》上发表了他们的最新研究成果。他们提出了一种名为FG-IELRSA（Fitness-Guided Individual Evolution-based Local Search with Reconstruction on DE）的混合优化框架，该框架通过协同聚类、局部搜索和峰值检测技术，显著提升了对非线性方程组多解的定位能力。

本研究主要采用了以下几个关键技术方法：首先，设计了一种融合个体空间位置和适应度（Fitness）信息的新型距离度量方法，并将其嵌入聚类过程，以增强对多解结构的辨识能力；其次，提出了一种基于个体进化的差分进化（Differential Evolution, DE）算法，通过增强子群间互动和引入扰动机制来加速收敛并逃离局部最优；最后，结合核密度估计（Kernel Density Estimation, KDE）和静态排斥技术，用于识别潜在的多解种子并在同一子群内精确定位不同的根。

研究结果部分通过多个维度验证了FG-IELRSA算法的有效性。

在敏感性分析方面，研究人员重点考察了KDE中带宽参数h的影响。实验设置了h=0.3, 0.5, 0.7三个水平，结果表明h=0.5时算法在多数测试函数上能达到最佳平衡，既能捕捉分布细节又不会引入过多噪声。

理论分析部分从马尔可夫链角度论证了算法的收敛性。研究将IELRSA算法的进化过程建模为马尔可夫链{x(t)}_t≥0，并分析了状态空间与状态转移、全局最优解更新指示函数、不可约性与遍历性以及电导与全局最优个体更新频率之间的关系。研究指出，由于差分变异中的随机元素（包括个体的随机选择、缩放因子F和交叉扰动）与贪婪选择机制的结合，算法从任何状态到达全局最优邻域的概率均非零，从而保证了算法的全局收敛能力。

综合在48个基准函数上的实验结果，FG-IELRSA在成功率（SR）、平均误差（AE）和运行时间等多个指标上均表现出色，尤其在处理高维、多模态的复杂非线性方程组时，其稳定性和求解精度显著优于对比算法。

本研究的主要结论是，FG-IELRSA框架通过有机整合适应度引导的距离度量、个体进化局部搜索和KDE峰值检测技术，有效克服了传统排斥技术和聚类方法在求解NES多解问题时面临的瓶颈。该研究不仅为非线性方程组的数值求解提供了一种高效、稳定的新途径，其提出的融合适应度信息的距离度量思想以及动态平衡探索与开发的局部搜索策略，对更广泛的复杂优化问题也具有重要的借鉴意义。未来，该框架有望应用于需要同时定位多个最优解的工程优化、机器学习模型参数反演等实际场景中。