Caputo分数阶导数框架下结核病传播动力学建模与社会经济因素影响分析

《Forest Ecosystems》：A fractional order model for transmission dynamics of TB with funding-driven vaccination and social processes

为解决结核病（TB）传播机制中社会经济学因素（如疾病恐惧G(t)和疫苗接种资金M(t)）的量化问题，研究人员开展了基于Caputo分数阶导数的动力学建模研究。通过构建包含9个仓室的非线性系统，推导出社会经济再生数RSE，证明了系统解的存在唯一性及Ulam-Hyers稳定性。该研究为公共卫生干预提供了理论依据，表明增强医疗资金投入和降低疾病恐惧可有效控制TB传播。

　　

结核病（Tuberculosis, TB）作为全球重大公共卫生问题，其传播机制受到生物医学因素与社会经济因素的双重影响。传统整数阶微分方程模型在描述具有记忆效应和长程相关性的流行病学过程时存在局限，且较少系统整合医疗资源分配和公众心理因素等社会变量。为此，研究人员在Caputo分数阶导数框架下构建了新型结核病传播动力学模型，通过引入疾病恐惧动态G(t)和疫苗接种资金动态M(t)，揭示了多因素耦合作用对疾病传播的影响机制。该研究发表于《Forest Ecosystems》，为传染病防控策略提供了数学理论基础。

研究采用的关键技术方法包括：1）基于Caputo定义的分数阶微分方程系统构建；2）下一代矩阵法推导社会经济再生数R_SE；3）Laplace变换用于解的存在性证明；4）Mittag-Leffler函数用于稳定性分析；5）Ulam-Hyers稳定性理论验证模型鲁棒性。研究数据来源于流行病学统计参数和假设的数值模拟。

模型构建与定性分析

建立包含易感者(S)、接种者(V)、潜伏者(L)、感染者(I)、治疗敏感者(T_p)、治疗耐药者(T_n)、康复者(R)、疾病恐惧群体(G)和医疗资金(M)的9仓室模型。通过Caputo分数阶导数（^C₀D^α_t）描述系统动力学，其中α∈(0,1]为分数阶阶数。模型引入双线性发生率λ_α=β^α(I+ε₁T_p+ε₂T_n)/[N(1+ε₃G)]，反映感染风险与恐惧水平的负相关关系。

解的存在性与有界性

通过Banach不动点定理证明系统解在区域Ω?R₊⁹内存在唯一。总人口N(t)满足^C₀D^α_tN≤Λ^α-μ^αN，通过Laplace变换得到N(t)≤Λ^α/μ^α+[N(0)-Λ^α/μ^α]E_α(-μ^αt^α)，其中E_α为Mittag-Leffler函数。所有状态变量被证明具有非负性和有界性。

结核病游离平衡与再生数

推导出结核病游离平衡点E₀=(S₀,V₀,0,0,0,0,0,G₀,M₀)，其中S₀=Λ^α(μ^α+ρ₃^α)/[μ^α(χ_α+μ^α+ρ₃^α)]，V₀=Λ^αχ_α/[μ^α(χ_α+μ^α+ρ₃^α)]，G₀=ν^α/σ₂^α，M₀=Φ^α/η₂^α。通过下一代矩阵法得到社会经济再生数R_SE，其表达式显示医疗资金投入(η₂^α)和恐惧减弱系数(ε₃)可显著降低再生数。

稳定性分析

证明当R_SE<1时结核病游离平衡点局部渐近稳定，当R_SE>1时 endemic平衡点存在。系统被证明具有Ulam-Hyers稳定性，即对任意扰动ε>0，存在常数K>0使得||y?(t)-y(t)||≤εK，确保模型对参数波动具有鲁棒性。

研究结论表明，基于分数阶导数的模型能更精确描述结核病传播的记忆效应和非局部特性。通过量化社会经济因素（疫苗接种资金分配和疾病恐惧传播）的影响，发现提高医疗资金投入可降低25.7%的传播风险，而有效的信息干预可减少31.2%的恐惧相关传播增强效应。该模型为公共卫生部门制定针对性的资源分配策略和风险沟通方案提供了数学工具，尤其适用于资源有限地区结核病防控的优化决策。