基于精确级数解的二维线性弹性柯西问题高效求解新方法

《Journal of Mechanics》：An efficient approach for the solution of Cauchy problem in two-dimensional linear elasticity

本研究针对二维线性弹性中的柯西问题（边界值反演问题），提出了一种基于控制微分方程精确级数解的高效方法。通过将问题转化为级数系数求解，结合Tikhonov正则化和粒子群优化的L曲线准则，有效解决了传统方法存在的网格离散误差和虚拟边界选择难题。数值算例表明该方法在收敛性、稳定性和精度方面均表现优异，为弹性力学反问题研究提供了新思路。

　　

在工程实践和科学实验中，我们常常会遇到这样的困境：只能获取物体部分边界的力学信息，却需要推算出完整边界的受力状态。这类被称为柯西问题的边界值反演问题，在无损检测、结构健康监测等领域具有重要应用价值。然而，由于测量误差和可测边界有限等固有难题，柯西问题往往表现出不适定性，传统的数值方法如有限元法(FEM)和边界元法(BEM)都存在明显局限——要么需要全域网格离散引入额外误差，要么面临奇异积分计算的复杂性。

近期发表在《Journal of Mechanics》的一项研究为解决这一难题带来了突破。汕头大学的研究团队开发了一种基于精确解析解的新方法，巧妙地将复杂的偏微分方程求解转化为级数系数的确定问题。该方法不仅避免了网格划分的繁琐过程，还通过智能优化算法有效克服了反问题固有的数值不稳定性。

在研究过程中，团队首先推导出了二维线性弹性控制方程的精确级数解表达式。通过分离变量法和特征值分析，位移场被表示为包含三角函数和幂函数的级数形式。特别值得注意的是，研究人员引入了递归定义的P_n(x,y)和Q_n(x,y)函数来简化表达式，这些函数实质上对应于复平面上的实部和虚部运算，为后续数值计算提供了便利。

针对由此产生的病态线性方程组，研究采用了Tikhonov正则化技术进行处理。该方法通过在最小二乘目标函数中增加正则项，有效抑制了测量误差对解的干扰。更为创新的是，团队将粒子群优化(PSO)算法与L曲线准则相结合，实现了正则化参数的智能优选。这种混合策略既保证了计算效率，又确保了解的稳定性。

在数值验证环节，研究团队设计了三个经典算例：受均匀静水压力的弹性圆盘、受拉矩形板和受弯矩形板。每个算例都考虑了不同噪声水平(1%、3%、5%)的干扰情况。结果显示，即使在5%的测量误差下，位移和表面力的重构误差仍能控制在5%以内，表现出了优异的鲁棒性。

通过系统分析测量点数量M和级数项数N对结果的影响，研究还证实了方法的收敛性。当M≥30、N≥4时，解即可达到令人满意的精度。与传统的基本解法(MFS)相比，新方法显著降低了矩阵规模，避免了虚拟边界选择的敏感性问题。

这项研究的创新之处在于将解析方法与现代优化算法完美结合，为弹性力学反问题的求解开辟了新途径。该方法不仅计算效率高、精度可靠，而且易于扩展到三维问题和非均匀材料情形，在工程实际应用中具有广阔前景。未来工作可以进一步探讨该方法在复杂几何形状和动态载荷条件下的适应性，推动反问题研究向更深入的方向发展。

主要技术方法

研究基于控制方程的精确级数解展开，通过边界测量点数据建立线性方程组。采用Tikhonov正则化处理病态问题，结合粒子群优化算法和L曲线准则优选正则化参数。数值验证采用三个经典弹性力学算例，在Γ₁边界设置30个均匀分布测量点，通过引入随机噪声检验方法稳定性。

研究结果

稳定性分析：在不同噪声水平(δ=1%,3%,5%)下，L曲线拐点处对应的最优正则化参数能有效控制误差。当δ=5%时，位移和表面力的重构误差均小于5%，表明方法具有良好的抗干扰能力。

收敛性验证：随着测量点数量M增加，数值解逐渐逼近精确解。当M=30时，范数相对误差即可控制在5%以内，继续增加M值误差进一步减小，证明方法的收敛性。

精度评估：级数项数N的选择对结果精度有显著影响。当N≥4时，三个算例的位移和表面力重构结果与解析解高度吻合，验证了方法的准确性。

研究结论与意义

本研究提出的基于精确级数解的方法成功解决了二维线性弹性柯西问题中的边界值重构难题。方法的核心优势在于：首先，通过解析推导避免了数值离散误差；其次，采用智能优化算法有效克服了反问题的不适定性；最后，数值实验证实了方法在收敛性、稳定性和精度方面的优越表现。

与现有方法相比，该方法不需要网格划分或虚拟边界选择，大大简化了计算流程。特别值得强调的是，方法产生的控制矩阵规模显著小于传统方法，为处理更复杂的工程问题奠定了基础。研究成果不仅为弹性力学反问题提供了新的解决方案，也为相关领域的边界值重构问题提供了可借鉴的技术路线。