基于Rocq形式化验证的s-有限核概率编程语言语义建模研究

《ACM Transactions on Probabilistic Machine Learning》：Semantics of Probabilistic Programs Using s-Finite Kernels in Dependent Type Theory

本文系统阐述了在Rocq证明助手中基于MathComp-Analysis库对概率编程语言（PPL）的形式化语义建模工作。研究团队通过构建层次化的核结构（包括有限核、s-有限核、子概率核和概率核），首次实现了对Staton提出的支持采样（sampling）、评分（scoring）和归一化（normalization）操作的PPL的完全形式化语义。特别突破了s-有限核复合运算的稳定性证明难题，为概率程序的符号执行（如伯努利分布模拟）和程序变换验证提供了严格的数学基础。

　　

数学基础与形式化背景

概率编程语言（Probabilistic Programming Language, PPL）的语义建模需要坚实的测度论基础。在测度理论中，σ-代数（σ-algebra）是集合上满足包含空集、补集和可数并封闭的子集族。测度（measure）则是定义在σ-代数上的非负函数，满足空集测度为零和可数可加性。有限测度要求全空间测度有限，当全空间测度为1时称为概率测度。s-有限测度（s-finite measure）是关键概念，它可以表示为可数有限测度序列的和。

MathComp-Analysis库为Rocq证明助手提供了测度与积分理论的形式化基础。该库定义了可测类型（measurableType）、测度类型（measure）以及各种积分表示方法。例如，积分∫_x∈Df(x)dμ用语法\int[mu]_(x in D) f x表示。这些基础为高阶概率概念的形式化奠定了基石。

核结构的层次化形式化

核（kernel）是概率编程语义的核心数学结构。一个从X到Y的核k: X ? Y是满足两个条件的函数：首先，对每个x∈X，k(x)是Y上的测度；其次，对每个可测集U，函数x?k(x)U是可测的。有限核要求存在统一上界r使得所有x满足k(x)Y < r。s-有限核则要求可表示为可数有限核序列的和。

研究团队使用Hierarchy-Builder工具在Rocq中构建了核的层次化结构。通过HB.mixin和HB.structure命令，定义了从基础核到s-有限核、有限核、子概率核和概率核的完整层次。特别解决了s-有限核与有限核定义间的循环依赖问题，通过工厂（factory）模式提供了更简洁的接口。

确定性核的实例化展示了形式化方法的具体应用。给定可测函数f，Dirac核kdirac定义为λx. δ_(f x)，并通过证明其满足核条件和概率测度性质，实例化为概率核。类似地，核的加法运算kadd通过提升测度的加法来定义，并证明其保持各类核性质。

s-有限核复合运算的稳定性证明

s-有限核复合运算的稳定性是概率编程语义的关键定理。给定s-有限核l: X ? Y和k: X×Y ? Z，其复合l ; k定义为λxU. ∫_yk(x,y)U(dl x)。该定理断言复合结果仍是s-有限核，且满足积分交换性质。

证明过程包含四个核心步骤：首先证明复合结果为测度，主要验证σ-可加性；其次证明有限核复合仍为有限核，难点在于可测性证明；第三步证明s-有限核复合的稳定性；最后通过单调收敛定理证明积分交换性质。

可测性证明是非平凡的核心环节。团队证明了关键引理：对非负可测函数f和有限核k，函数x?∫_yf(x,y)(dk x)是可测的。证明通过简单函数逼近和截面定理（section theorem）完成，本质上是Lebesgue积分基本引理的核变体。

概率编程语言的语义形式化

基于核理论，研究团队形式化了Staton提出的概率编程语言。该语言类型包括实数类型R、分布类型P(A)、单元类型U、乘积类型A×B和可数和类型∑_i∈IA_i。项包括常元、配对、投影、条件分支、原始操作和概率特定操作（return、let、sample、score、normalize）。

语言语义通过可测空间上的解释函数实现。类型解释为可测空间，上下文解释为乘积空间，确定性项解释为可测函数，概率项解释为核。具体指令的语义通过核操作实现：return指令通过Dirac核实现；let指令通过核复合实现；条件分支通过核的受限和实现；case分析通过可数和实现。

采样指令的语义基于概率测度空间的形式化。团队定义了概率测度的σ-代数，生成集为{μ | μ(U) < r}。采样指令直接将概率测度函数解释为核。评分指令通过缩放测度实现，定义为λx. mscale (f x) (dirac tt)。归一化指令通过测度除以其全空间测度实现，异常情况使用默认概率。

迭代操作通过s-有限核和计数测度定义。iterate t from x := u的语义定义为对自然数n的求和，其中第n次迭代通过递归失败和case分析实现。这为模拟von Neumann的偏置硬币公平化算法等应用提供了形式基础。

程序推理与符号执行

形式化语义支持对概率程序的严格推理。交换性定律允许改变let绑定的顺序，当变量不自由时成立。结合性定律则直接来自核复合的结合性质。这些定律通过Tonelli-Fubini定理的s-有限版本证明。

符号执行通过重写规则实现。基本规则包括return与let的交换、score的合并等。以Staton的公交车等待程序为例，团队展示了如何通过重写将程序语义转化为显式概率表达式。程序首先采样到达时间，然后根据工作日/周末采样等待时间，最后返回配对结果。形式重写逐步简化表达式，最终得到混合泊松分布的显式形式。

迭代推理展示了形式化方法的威力。von Neumann技巧通过迭代抛掷偏置硬币直到结果相异来实现公平硬币。团队证明该迭代的语义确实等价于伯努利(1/2)分布，前提是硬币不是几乎总是同面。更一般地，证明了概率核迭代等价于失败后归一化的语义。

核层次的扩展与应用

团队进一步扩展了核层次，添加了有限转移核和σ-有限转移核结构。有限转移核要求每个k(x)是有限测度，比有限核更一般。σ-有限转移核要求每个k(x)是σ-有限测度。新结构插入现有层次中，有限核改为继承自有限转移核。

扩展后证明了更多核复合性质。有限转移核的复合结果是σ-有限转移核，这解释了为什么需要s-有限核来获得稳定性。子概率核的复合则保持子概率性质，这一定理通过核积和可测性引理证明。

这些结果表明形式化框架的可扩展性，能够容纳概率论中的经典结果。核积操作（返回X×Y→Z的核）与复合操作（返回X→Z的核）的区别也得到了澄清。

相关工作比较

与现有形式化工作相比，本研究具有显著优势。Heimerdinger和Shan在Rocq中的工作使用公理假设，而本研究完全无公理化。Zhang和Amin忽略了可测性问题，而本研究彻底解决了可测性证明。MathComp-Analysis的核形式化缺少有限转移核和子概率核，且s-有限核定义不同。Isabelle/HOL的准Borel空间方法支持高阶但缺少某些核类型。

与概率算法验证相比，本研究专注于概率建模而非算法正确性。与基础测度论形式化相比，本研究添加了s-有限测度和核理论。这些比较显示了本研究在概率编程语义形式化方面的全面性和先进性。

结论与未来工作

本研究实现了概率编程语言的完全形式化语义，基于s-有限核理论解决了复合运算的稳定性问题。层次化的核结构、可测性的机械证明、程序推理的实例都展示了形式化方法的威力。

未来工作包括开发形式语法以支持更大程序验证，扩展实分析和概率论库，以及进一步开发s-有限测度理论。这些工作将推动概率编程验证在机器学习安全等领域的应用，为概率计算提供可靠基础。