关于自然数集合补集中的加法补元

《Bulletin of the Australian Mathematical Society》：ON ADDITIVE COMPLEMENTS IN THE COMPLEMENT OF A SET OF NATURAL NUMBERS

本文研究自然数集A的加性补集B的存在性。当A严格递增且相邻元素比值的liminf大于1时，存在不与A相交的稀疏补集B，确保所有足够大的自然数可表示为A和B元素的和。

　　

摘要

设 A 为一组自然数。如果所有足够大的自然数都可以表示为 $x+y$ 的形式，其中 $x\in A$ 且 $y\in B$，那么称集合 B 为集合 A 的加法补集。我们证明：如果 $A=\{a_i: i\in \mathbb {N}\}$ 是一组自然数，并且满足对于所有 $i \in \mathbb {N}$ 有 $a_i<a_{i+1} $，同时 $\liminf _{n\rightarrow \infty } (a_{n+1}/a_{n})>1$，那么存在一个集合 $B\subset \mathbb {N}$，使得 $B\cap A = \varnothing $，并且集合 B 是集合 A 的一个稀疏加法补集。

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