关于构建一种能够最大化大脑组织拉伸-压缩不对称性的粘弹性本构模型

《International Journal of Engineering Science》：On the construction of a viscoelastic constitutive model for brain tissue maximizing tension–compression asymmetry

脑组织粘弹性模型基于Baker-Ericksen不等式与Lode不变量构建存储能量函数，最大化张力-压缩不对称性，采用Rajagopal热力学框架扩展粘弹性方程，验证显示其优于六参数Budday-Ogden模型。

　　脑组织是一种具有复杂力学特性的生物软组织，其行为在不同加载条件下表现出显著的非线性特性。这种特性不仅体现在其弹性和粘弹性响应上，还通过张力-压缩不对称性、剪切刚度以及加载速率依赖性等现象表现出来。研究者们长期致力于开发能够准确描述这些行为的本构模型，以更好地理解脑组织在动态负载下的力学响应，并为相关医学和工程应用提供理论支持。本文提出了一种新的本构模型，通过引入张力-压缩不对称性并满足Baker-Ericksen不等式，实现了对脑组织力学行为的精确模拟。

脑组织的非线性粘弹性特性使其在力学分析中具有独特挑战。在静态加载条件下，脑组织的弹性行为表现出明显的张力-压缩不对称性，即在压缩状态下，其剪切刚度显著高于张力状态。这种不对称性是由于脑组织内部结构的复杂性，包括神经元、胶质细胞、轴突纤维和周围细胞外基质之间的相互作用。此外，脑组织的高含水量（约80%）进一步增强了其时间依赖性，使得传统的线性粘弹性模型难以准确描述其在生理条件下的变形行为。因此，开发能够处理有限变形并同时考虑时间依赖性的本构模型成为必要。

目前，许多本构模型已被用于描述脑组织的力学行为。其中，Ogden模型因其能够合理捕捉张力-压缩不对称性和剪切硬化现象，而被广泛应用于脑组织建模。然而，该模型在较高压缩水平下表现出单调增加的不对称性，而实验数据则显示不对称性趋于稳定。这种差异表明，现有的模型在描述脑组织的复杂行为方面仍有局限性。因此，本文提出了一种新的模型，通过引入张力-压缩不对称性并确保其满足Baker-Ericksen不等式，从而实现对脑组织行为的更精确模拟。

为了构建这一模型，研究者们利用了Lode不变量的物理意义，将其纳入存储能量函数的构造过程中。Lode不变量是描述材料在不同主拉伸状态下的力学响应的一种重要工具，其物理意义在于能够区分不同类型的应力状态，如剪切、张力和压缩。通过这一方法，存储能量函数能够体现出张力-压缩不对称性，并且在满足Baker-Ericksen不等式的前提下，实现对不对称性的最大化。Baker-Ericksen不等式是确保本构模型物理合理性的关键条件之一，它要求材料的响应在不同变形状态下保持一定的稳定性，避免出现非物理性的行为。

本文提出的模型具有两个参数，相较于现有的四参数模型（如Mihai-Ogden模型和Prasad-Kannan模型），其参数数量更少，这在实际应用中具有重要意义。模型的存储能量函数被设计为能够同时描述静态和动态加载下的响应，并且通过极化速率耗散函数来推导粘弹性本构方程。速率耗散函数的选择是基于热力学第二定律，以确保模型在不同加载速率下的行为符合物理规律。此外，模型还通过简单二次形式的耗散函数来描述非平衡部分的响应，从而实现对粘弹性行为的系统描述。

为了验证模型的有效性，研究者们将其与实验数据进行了比较。实验数据来源于Budday等人（2017）的研究，他们对人脑的不同区域（如冠状辐射、胼胝体、基底神经节和皮层）进行了多种变形模式下的测试，包括简单剪切、压缩和拉伸，以及剪切叠加在单轴拉伸和压缩上的情况。通过将模型预测结果与实验数据进行对比，研究者们发现，该模型能够准确捕捉脑组织的张力-压缩不对称性、滞后效应和松弛行为，尤其在剪切叠加于单轴拉伸和压缩的情况下，其预测结果与实验数据的吻合度优于现有的六参数Budday-Ogden模型。这表明，该模型不仅能够有效描述脑组织的复杂力学行为，而且在参数数量上具有优势，适用于更广泛的工程和医学应用。

在模型的构建过程中，研究者们还考虑了热力学框架的引入。K.R. Rajagopal及其合作者提出了一种基于最大熵产率原理的热力学框架，该框架在描述粘弹性行为方面表现出良好的适应性。在这一框架下，材料的响应被分解为弹性部分和粘性部分，弹性部分由存储能量函数描述，而粘性部分则由速率耗散函数来表征。通过最大化速率耗散函数，并在适当的约束条件下进行演化，可以得到粘弹性本构方程。这种方法不仅能够确保模型的物理一致性，还能有效描述材料在不同加载速率下的行为。

此外，研究者们还探讨了模型的扩展性。在有限变形粘弹性模型中，存储能量函数可以被设计为包含平衡（弹性）和非平衡（粘性）成分，从而实现对材料在不同变形状态下的全面描述。通过采用相同的函数形式来描述非平衡部分，研究者们确保了Baker-Ericksen不等式在所有应变率条件下的适用性，使得模型在不同加载速率下仍能保持物理合理性。这种设计不仅提高了模型的预测能力，还增强了其在实际应用中的灵活性和适应性。

在实验验证方面，研究者们采用了Budday等人（2017）的模型作为参考，通过比较不同加载条件下的预测结果与实验数据，评估了新模型的性能。实验数据包括单轴拉伸、压缩、简单剪切以及剪切叠加在单轴拉伸和压缩上的情况。结果表明，新模型在描述这些变形模式时表现出更高的准确性，特别是在剪切叠加于单轴拉伸和压缩的情况下，其预测结果与实验数据的吻合度显著优于现有的模型。这一发现进一步验证了新模型在捕捉脑组织复杂力学行为方面的有效性。

本文还对现有本构模型进行了系统分析，指出其中的不足之处。例如，Neo-Hookean、Mooney-Rivlin、Demiray和Fung等较为简单的模型在描述脑组织的张力-压缩不对称性方面存在明显缺陷，而更复杂的四参数模型虽然在一定程度上能够再现实验数据，但在高压缩水平下仍预测出与实验不符的趋势。相比之下，Ogden模型虽然参数较少，但其在高压缩水平下表现出的单调不对称性与实验数据存在偏差。因此，本文提出的模型在参数数量和物理合理性之间找到了平衡，能够更准确地描述脑组织的力学行为。

通过引入张力-压缩不对称性并确保其满足Baker-Ericksen不等式，本文提出的模型在有限变形粘弹性框架下实现了对脑组织行为的全面描述。这一模型不仅能够捕捉脑组织在静态和动态加载下的响应，还能有效模拟其滞后效应和松弛行为。此外，模型的参数数量较少，使其在实际应用中更具优势，特别是在需要对材料进行快速建模和分析的场景下。

在模型的构建过程中，研究者们还特别关注了热力学框架的理论基础。最大熵产率原理作为该框架的核心，为粘弹性行为的建模提供了坚实的理论支持。这一原理指出，在所有热力学允许的路径中，系统会沿着最大化熵产率的路径演化。这一假设虽然并非普遍适用，但在描述多种不可逆现象时，如粘弹性、塑性、相变、各向异性流体、聚合物结晶和化学反应系统中，已被成功应用。通过将这一原理应用于脑组织的建模，研究者们能够确保模型在不同加载速率下的行为符合热力学规律。

在实验数据的分析中，研究者们特别关注了脑组织在不同预拉伸状态下的剪切响应。例如，在压缩预拉伸（λ < 1）和张力预拉伸（λ > 1）条件下，脑组织的剪切刚度表现出显著差异。压缩预拉伸下的剪切刚度明显高于张力预拉伸下的剪切刚度，这表明脑组织在不同变形状态下具有不同的力学特性。通过将这一现象纳入模型的构建过程中，研究者们能够更准确地描述脑组织的剪切响应，并确保模型在不同加载模式下的适用性。

此外，本文还对现有模型进行了比较分析，指出其在描述脑组织张力-压缩不对称性方面的局限性。例如，Anssari-Benam等人（2022）提出了一种基于Lode不变量的Hill稳定应变能模型，该模型在一定程度上改进了Ogden模型的局限性，但在高压缩水平下仍预测出与实验数据不符的趋势。相比之下，本文提出的模型通过引入张力-压缩不对称性并确保其满足Baker-Ericksen不等式，实现了对实验数据的更准确拟合，同时保持了较低的参数数量。

在模型的构建过程中，研究者们还考虑了多种变形模式下的响应，包括简单剪切、单轴拉伸、单轴压缩以及剪切叠加在单轴拉伸和压缩上的情况。通过将这些变形模式纳入模型的验证过程，研究者们能够全面评估模型的性能，并确保其在不同加载条件下的适用性。实验数据的分析表明，新模型在描述这些变形模式时表现出更高的准确性，特别是在剪切叠加于单轴拉伸和压缩的情况下，其预测结果与实验数据的吻合度显著优于现有模型。

综上所述，本文提出了一种新的本构模型，通过引入张力-压缩不对称性并确保其满足Baker-Ericksen不等式，实现了对脑组织复杂力学行为的精确描述。该模型不仅能够捕捉脑组织在静态和动态加载下的响应，还能有效模拟其滞后效应和松弛行为。通过采用热力学框架，并引入最大熵产率原理，研究者们确保了模型的物理合理性和适用性。实验数据的分析表明，该模型在参数数量和预测准确性之间取得了良好的平衡，为脑组织的力学建模提供了新的思路和方法。