多谐波边界值问题（polyharmonic BVPs）基本解公式的局部方法

《Journal of Computational Science》：Local method of fundamental solutions formulations for polyharmonic BVPs

本文提出三种局部基本解法（LMFS）用于求解二维多连通域polyharmonic方程边值问题，通过数值实验验证了其在处理含微小孔洞区域的优越性，并针对对称域开发了高效的矩阵分解算法。

　　在现代科学计算中，求解偏微分方程（PDE）的边界值问题（BVP）一直是重要的研究方向之一。特别是在处理多连通域的问题时，传统的网格方法往往面临计算复杂度高、几何建模困难等挑战。为此，科学家们提出了多种无网格方法，其中局部基本解法（Local Method of Fundamental Solutions, LMFS）因其在处理复杂几何结构中的优势而受到广泛关注。本文聚焦于二维多谐波方程（Polyharmonic Equation）的边界值问题，提出三种不同的LMFS形式，用于提高求解效率和准确性。

多谐波方程是一类高阶偏微分方程，其形式为 Δ^N u = 0，其中 N 是自然数且不等于 1。这类方程在许多物理和工程问题中具有重要应用，例如弹性力学、流体力学和电磁场分析等领域。由于其高阶特性，传统的数值方法在处理这类问题时往往需要大量的计算资源和复杂的网格划分。相比之下，LMFS作为一种无网格方法，能够有效避免这些问题，特别是在多连通域中。多连通域通常包含多个孔洞或空隙，这使得传统的全局基本解法（Method of Fundamental Solutions, MFS）在处理时需要引入多个伪边界点，进而导致矩阵条件数恶化，计算效率下降。而LMFS通过局部化处理，将问题分解为多个子区域，从而在一定程度上缓解了这一难题。

在本文中，作者提出了三种不同的LMFS方法，分别称为传统形式、第一种替代形式和第二种替代形式。这些方法基于MFS在处理多谐波问题时的已有研究，但通过局部化策略对传统方法进行了改进。具体来说，传统形式保留了MFS的基本思想，即在边界上设置源点，通过求解基本解的线性组合来逼近目标解。而第一种和第二种替代形式则引入了更多的灵活性，允许在内部点进行插值或集中处理，从而在一定程度上提高了计算精度和效率。这些方法的提出不仅拓展了LMFS的应用范围，也为解决高阶多谐波问题提供了新的思路。

在实现这些LMFS方法的过程中，作者强调了对源点选择的优化。传统的MFS方法在处理多连通域时，需要在边界上设置大量的伪边界点，以确保源点分布的合理性。然而，这种做法在多孔洞或小孔的结构中会变得尤为复杂，因为不同大小的孔洞需要不同的伪边界长度，进而导致源点密度差异大，矩阵条件数恶化。相比之下，LMFS通过在每个子区域内选择少量的源点，能够更有效地控制源点分布，提高数值稳定性。此外，作者还提到使用KD树算法来快速确定每个内部点的最近邻点，这在处理大规模问题时具有显著优势。

为了验证这些方法的有效性，作者进行了多个数值实验，涉及不同的多连通域。其中，Domain 1 是一个齿轮形状的区域，其边界由参数方程定义，包含一个内圆和外圆的组合。Domain 2 是一个包含多个小孔的区域，Domain 3 是一个具有多个内部点和边界点的复杂结构，Domain 4 则是一个包含多个同心圆的区域。这些实验不仅展示了LMFS在处理多连通域中的灵活性和计算效率，还验证了不同方法在不同场景下的适用性。

此外，作者还探讨了矩阵分解算法（Matrix Decomposition Algorithms, MDAs）在处理多谐波问题中的应用。在传统的MFS方法中，由于全局矩阵的条件数较差，求解过程往往需要引入额外的数值稳定化技术。而LMFS方法由于其局部化特性，生成的矩阵更加稀疏，因此可以更高效地进行求解。作者进一步提出，对于具有径向对称性的多谐波问题，可以使用MDAs来进一步提高计算效率。这些算法在处理低阶问题（如拉普拉斯方程和双调和方程）时已经被验证有效，而在高阶问题中的应用则是本文的一个重要创新点。

通过这些方法的结合，作者不仅解决了多连通域中的计算难题，还为处理高阶多谐波问题提供了新的工具。这些方法的提出，有助于进一步拓展LMFS在工程和科学计算中的应用范围，特别是在需要高精度和高效率的场景中。此外，作者还提到在实验过程中使用了多精度计算技术，以确保数值结果的准确性，特别是在处理高阶问题时，精度要求更高。

总的来说，本文通过提出三种不同的LMFS方法，有效解决了多谐波方程在多连通域中的求解难题。这些方法不仅在计算效率上有所提升，还在数值稳定性方面表现出色。此外，作者还探讨了矩阵分解算法在处理这类问题中的应用，为未来的数值计算研究提供了新的思路和方法。这些研究成果对于进一步发展无网格方法，特别是在处理复杂几何结构和高阶问题时，具有重要的意义。