Grover-QAOA中的相位匹配策略及其在3-SAT问题求解中的应用研究

《Journal of Communications and Networks》：Phase matching in Grover-QAOA for solving 3-SAT problems

本文针对量子近似优化算法（QAOA）在组合优化中参数优化复杂的问题，研究了Grover-QAOA（G-QAOA）求解3-SAT问题的相位匹配条件。通过建立问题哈密顿量与混合哈密顿量之间的相位对齐关系，研究人员将变分参数从2p个减少至p个，显著降低了计算开销。数值模拟表明，该方法在保持与标准G-QAOA相近成功概率的同时，大幅减少了量子电路评估次数，为近期限量子硬件实现提供了更高效的优化路径。

　　

在量子计算迅猛发展的浪潮中，组合优化问题的求解一直是研究者们攻坚的重点领域。量子近似优化算法（Quantum Approximate Optimization Algorithm, QAOA）作为2014年由Farhi等人提出的混合量子-经典算法，通过交替应用问题哈密顿量（Problem Hamiltonian）和混合哈密顿量（Mixing Hamiltonian）来逼近最优解，为组合优化问题提供了新思路。然而，随着系统规模扩大，QAOA面临参数优化困难、梯度消失（即“贫瘠高原”现象）等挑战，特别是在处理布尔可满足性问题（SAT）时，传统基于Pauli-X混合器的QAOA表现不佳。

针对这一瓶颈，Grover-QAOA（G-QAOA）应运而生。它采用Grover搜索算法中的扩散算子替代标准混合器，利用振幅放大技术提升采样公平性。但G-QAOA仍需优化2p个变分参数（p为电路深度），在近期限量子（NISQ）设备上仍存在计算开销大的问题。为此，韩国大学电气工程系的Youngjin Seo和Jun Heo团队在《Journal of Communications and Networks》上发表了题为“Phase Matching in Grover-QAOA for Solving 3-SAT Problems”的研究，通过分析G-QAOA中的相位关系，提出了一种创新的相位匹配条件，显著简化了优化流程。

为验证相位匹配条件的有效性，研究团队设计了基于Qiskit框架的数值模拟实验，采用AerSimulator模块和COBYLA优化器，对8-11变量的3-SAT问题进行测试。关键技术方法包括：1. 构建3-SAT问题哈密顿量（如公式(27)所示），通过多量子比特旋转门（如R_{σ^z1σ^z2σ^z3}(γ)）实现子句编码；2. 采用Grover混合器（公式(29)）替代传统Pauli-X混合器；3. 通过相位匹配条件将参数关系简化为β=mγ（m为子句数）；4. 对比标准G-QAOA、相位匹配G-QAOA、单参数对G-QAOA和单参数G-QAOA四种算法的性能。

研究结果通过多组仿真数据得到系统验证：

电路设计实现

如图1所示，针对三量子比特情况下的问题哈密顿量H_P=(I₁+σ₁^z)(I₂+σ₂^z)(I₃+σ₃^z)，研究团队设计了可扩展的量子电路。通过图2中的多Z旋转门电路结构，实现了高效的三量子比特受控相位操作。

算法性能对比

仿真结果显示（图3），相位匹配G-QAOA在低深度级别（p≤5）时与标准G-QAOA保持相近的成功概率，但电路调用次数减少约50%。例如在11变量、22子句的3-SAT问题中，相位匹配G-QAOA在p=5时达到约45%的目标态概率，而电路评估次数仅为标准算法的54%。

参数简化效果

单参数G-QAOA（公式(40)）进一步将参数减少至1个，虽在高深度级别（p>5）出现性能衰减（图4），但在p=1时与标准算法等效。图5的综合对比表明，所有变体算法均能在有限深度内达到50%成功概率，验证了相位匹配条件的实用性。

本研究通过理论分析与数值模拟证明，相位匹配条件能有效简化G-QAOA的优化流程，尤其适合NISQ设备低深度场景。虽然近似处理导致高深度级别性能差距增大，但该方法为递归QAOA（RQAOA）等框架的集成提供了新思路。未来工作可聚焦于精确相位匹配条件的推导及其在图形着色等扩展问题中的应用，进一步推动量子优化算法在实际场景中的落地。