一种用于复合材料多尺度建模的优化物理循环神经网络

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：An Optimized Physically Recurrent Neural Network for Multiscale Modeling of Composite Materials

针对复合材料多尺度模拟中计算成本高的问题，提出基于物理循环神经网络（PRNN）的代理辅助FE2方法，通过优化PRNN内部参数提升预测精度，并在商业有限元软件中实现高效集成，验证其在路径依赖力学行为中的泛化能力。

　　复合材料因其固有的异质性，表现出复杂的力学行为，这对计算模拟提出了重大挑战。传统方法如计算均质化（FE2）虽然能够实现有效的多尺度分析，但其高昂的计算成本限制了其在实际工程中的应用。为了解决这一问题，本文提出了一种基于物理递归神经网络（PRNN）的代理模型辅助FE2方法，该方法在计算效率上表现出色，仅需少量的训练样本即可实现高精度预测，显示出在工程实践中的广阔应用前景。此外，本文还探讨了多种优化PRNN内部参数的方法，通过调整可训练参数的数量和使用不同的优化器，如贝叶斯优化和Adam，进一步提升了模型的性能。最终提出了一种最优方法，能够在多种情况下提高预测的准确性，平均提升超过35%。

为了支持代理模型在复合结构模拟中的实际部署，本文在商业有限元软件中开发了一种简化的FE2集成方法，使得PyTorch训练的模型可以直接嵌入到分析流程中，只需极少的调整即可实现无缝集成。同时，还开发了一种自动微分实现，以加速宏观切线刚度矩阵的计算，并增强FE2的数值稳定性，无需额外的数值处理步骤。最后，将优化后的PRNN与一个纯数据驱动的GRU模型进行对比，应用于在未见过的应变路径下的路径依赖力学预测，以及复合结构典型开孔拉伸/压缩的数值模拟。结果表明，PRNN在学习复杂力学特征和在有限训练数据下进行外推方面显著优于GRU模型。

复合材料是多相系统，由不同尺度上的多种组分通过物理或化学结合形成，具有显著的轻量化优势。在航空航天、铁路运输和土木工程等多个领域，复合材料被广泛用于结构部件。这些材料的主要优势在于保留了各个相的基本特性，同时通过相间的协同作用获得了个体组分所不具备的新特性。通过有策略的材料设计，各个相的性能可以相互补充和增强，从而实现整体性能的显著提升。然而，为了有效设计和使用这些先进材料，需要采用更先进的预测模型，这些模型必须能够捕捉异质微观结构中的力学响应和效应，这些效应决定了宏观复合结构的力学行为、损伤和失效特性。

复合材料的微观异质性来源于其多材料组成，这对在细尺度上进行直接数值模拟（DNSs）构成了根本性的挑战，因为所需的计算成本极高。为了解决这些困难，已经开发了多种均质化技术，可以大致分为四个主要方法：均场均质化、数学（渐近）均质化、数值均质化和计算均质化。均场均质化是一种半解析方法，通过考虑代表性包含物（如纤维、颗粒或晶粒）与等效均质介质之间的相互作用，来近似局部的力学、热或电磁响应。经典的均场均质化方法包括Eshelby的解及其扩展，如Mori–Tanaka方法、自洽方案和微分方案。这些方法在处理线弹性材料时表现出高效和准确，但在处理非线性行为时则存在显著局限。

数学均质化是一种基于多尺度渐近分析的理论框架，能够从相应的微观结构推导出复合材料的宏观特性。该方法涉及严谨的数学公式，如扰动展开，将场变量表示为宏观和微观尺度的函数。通过在每个尺度上对边界值问题（BVPs）的解进行体积平均，可以获得有效的材料属性。尽管数学均质化能够捕捉细尺度的场特征，如应力集中，但它通常受限于简化的微观结构几何形状和材料模型。数值均质化则依赖于预定义的本构模型，其参数通过在标准加载条件下进行代表性体积元（RVE）模拟所得的平均应力-应变数据进行校准，从而获得近似的均质化模型，适用于宏观分析。这种方法在计算上较为高效，仅需在校准阶段进行有限数量的RVE有限元（FE）模拟。它已被成功应用于涉及弹塑性、粘弹塑性和材料损伤的问题。然而，其准确性依赖于假设的本构模型的充分性。特别是在试图捕捉关键力学行为时，仅靠参数调整是不够的，无法达到高保真度。

计算均质化，也称为有限元2尺度方法（FE2），是一种高度通用的方法，其中RVE的边界值问题通过全场有限元离散化直接求解，随后将均质化的应力和切线刚度矩阵传递到宏观尺度的积分点。这一概念最初由Feyel提出。自那时以来，文献中已报道了多种FE2多尺度方法用于复合材料的建模。尽管这种方法具有高度的灵活性，能够处理复杂的非线性和多物理场问题，但其要求在宏观模型的每个积分点上求解RVE的边界值问题，导致计算成本高昂，限制了其在大规模模拟中的可行性。

近年来，机器学习在多个领域取得的成功也激发了其在复合材料多尺度建模中的应用兴趣。人工神经网络（ANNs）被提出以替代RVE级别的计算，作为嵌入到FE2模拟中的介观本构代理模型。大多数基于ANN的本构模型可以大致分为使用全连接神经网络（FCNNs）和使用递归神经网络（RNNs）的两类。相比FCNNs，RNNs，包括其变体如长短期记忆（LSTM）和门控循环单元（GRU），在塑性材料的本构建模中具有独特优势，这得益于其能够将历史信息整合到当前预测中的能力。这一特性自然地与许多材料中观察到的路径依赖行为相契合。例如，Mozaffar等人展示了RNNs在捕捉与历史和微观结构相关的本构响应方面的有效性。与传统本构模型不同，这些模型通常需要迭代追踪屈服面或显式表达有效应变与应力之间的关系，而RNNs可以直接从RVE模拟中学习这些行为。Bonatti和Mohr引入了最小状态单元（MSCs），这是一种最小状态的RNN架构，显著减少了与传统LSTM和GRU模型相比的可训练状态变量数量，同时不牺牲准确性。这使得复杂系统状态的表示更加紧凑和高效。Ghane等人成功将RNNs应用于编织复合材料的本构建模，并探讨了使用迁移学习以减少所需训练数据量的可行性。此外，基于一些新的网络结构，如图神经网络（GNN）和Transformer的本构代理建模方法也被提出。尽管这些方法在建模复杂本构行为方面表现出色，但纯数据驱动的模型需要大量的训练数据，尤其是在处理高度非线性或强烈路径依赖的材料时。然而，通过高保真度的RVE有限元模拟或物理实验来获取这些大量数据仍然是一项重大挑战。

为了缓解这一数据依赖性，人们探索了诸如迁移学习和多保真度建模等策略，尽管它们在实际应用中的效果尚未完全验证。因此，越来越多的关注转向开发融合经典力学原理的物理信息机器学习模型。例如，Li等人提出了一种模型，该模型基于力学先验分解应力和应变，使得每个神经网络可以学习其关系，从而减少模型复杂度和数据需求，但需要特定的分解策略。Lu等人结合ANN与粘弹性理论，提出了一种物理信息驱动的数据驱动方法，能够在仅需少量训练数据的情况下学习复合材料在小变形下的粘弹性行为。另一个显著的努力是Liu等人提出的深度材料网络（DMN），该网络将解析均质化解纳入深度网络中。与传统模型预测应力-应变响应不同，DMN学习了微观结构几何的降阶表示，使得在少量训练数据下实现高效和准确的预测成为可能。DMN已被成功应用于涉及多孔材料、热力耦合和界面失效的问题。

最近，物理递归神经网络（PRNN）作为一种有前景的方法被提出。PRNN将传统本构模型嵌入到神经网络架构中，从而能够自然地捕捉复杂的现象，如路径依赖性。其架构仅包含三个层——编码器、材料层和解码器，这使得其在不同问题上的训练和应用更加简便。最初的PRNN应用集中在具有弹塑性基体的复合材料上，但最近的工作已经将其扩展到界面失效和编织复合材料。然而，模型层中材料参数的选择仍然较为启发式，不当的选择会显著降低预测精度，这极大地限制了PRNN框架的外推能力和适用边界。如何从PRNN的材料层中选择并确定合适的材料参数仍然是一个未解决的问题，本文对此进行了探讨和解答。

本文提出了一种基于PRNN的代理模型辅助多尺度计算框架，并开发了一种高效的商业有限元软件集成方案。重新审视了PRNN的学习和外推能力，并提出了一种优化策略，通过调整内部材料参数来提高其预测精度。比较了三种优化方法，并确定了最有效的方法，实现了精度和鲁棒性的双重提升。本文的结构如下：第二部分概述了代理模型辅助的FE2框架和PRNN的基本理论，包括与Abaqus UMAT的共享内存集成方案。第三部分详细介绍了加载路径采样、RVE建模和材料行为。第四部分展示了优化策略的比较评估。第五部分验证了优化后的PRNN模型在代理模型辅助的FE2框架中的实际适用性，评估了其在外推能力和多尺度模拟结果方面的表现，并与基于GRU的代理模型进行了对比。最后，第六部分总结了本文的贡献，并讨论了未来的研究方向。

在假设尺度分离的前提下，即复合材料的宏观特征尺度M远大于其微观特征尺度m（m ? M），可以通过在适当的边界条件下（通常考虑周期边界条件）对微观RVE有限元模拟结果进行均质化，从而获得宏观有限元积分点的材料响应。这种做法不需要显式地建立本构模型。全球解的获得依赖于对微观结构行为的准确捕捉，而这一过程需要大量计算资源。因此，开发高效的代理模型成为关键，以在不牺牲精度的前提下减少计算成本。

本文的研究重点在于通过引入物理信息和优化策略，提升PRNN在多尺度计算中的表现。首先，对PRNN模型进行训练和优化，确保其能够准确地学习和预测复杂材料行为。其次，通过对比不同优化方法，确定最优的参数调整策略，从而在保持模型鲁棒性的同时提高预测精度。此外，还探讨了如何将优化后的PRNN模型嵌入到现有的有限元分析流程中，使得其能够在实际工程中更广泛地应用。

在数据生成方面，机器学习模型需要从应变空间E到应力空间S的映射，即F: E → S。为了确保模型能够准确地模拟整个域的真实本构行为，同时减少所需的样本数量，应变样本的选择必须具有足够的代表性。对于路径独立的本构模型，这一任务相对简单，但对于路径依赖的材料，数据生成和模型训练变得更加复杂。因此，需要一种高效的采样策略，以确保模型在各种应变路径下都能保持良好的预测能力。

在优化PRNN模型的参数方面，本文采用多种优化方法进行比较，包括贝叶斯优化和两种梯度优化方法。贝叶斯优化是一种基于概率模型的优化方法，能够通过不断迭代和更新，找到最优的参数组合。这种方法在处理高维参数空间时表现出色，能够有效平衡探索和利用。此外，梯度优化方法如Adam和SGD等，能够通过计算梯度信息来调整参数，从而提高模型的收敛速度和预测精度。通过比较这些方法，本文确定了最优的参数优化策略，使得PRNN模型在保持计算效率的同时，能够实现更高的预测精度。

在模型验证方面，本文评估了优化后的PRNN模型在代理模型辅助的FE2框架中的实际应用能力。首先，通过预测在未见过的应变路径下的应力响应，评估了模型的外推能力，这是确保多尺度模拟鲁棒性和泛化能力的重要指标。其次，通过一个代表性的案例研究，展示了所提出方法的有效性。案例研究涵盖了复合结构的典型开孔拉伸和压缩模拟，验证了优化后的PRNN模型在这些复杂情况下的表现。

本文的研究成果表明，通过引入物理信息和优化策略，PRNN模型在多尺度计算中表现出色，能够有效平衡计算效率和预测精度。这使得其在实际工程应用中具有更大的潜力。此外，本文还探讨了如何将优化后的PRNN模型嵌入到现有的有限元软件中，以实现更便捷的集成和应用。这一集成方案不仅提高了模型的实用性，还为未来的研究提供了新的方向。

在代码和数据方面，本文的代码可以通过GitHub仓库访问，地址为https://github.com/Lyu721/Optimized-PRNN。数据将在请求时提供。通过开放的代码和数据，本文为其他研究人员提供了验证和扩展该方法的机会，同时也促进了该领域的进一步发展。

综上所述，本文的研究工作为复合材料多尺度建模提供了一种新的解决方案。通过结合物理信息和优化策略，PRNN模型在保持计算效率的同时，实现了更高的预测精度。这不仅为工程实践中的复杂材料模拟提供了新的工具，也为未来的研究开辟了新的路径。本文的研究成果展示了PRNN在处理路径依赖材料行为方面的优势，特别是在有限训练数据的情况下，其外推能力显著优于传统的GRU模型。此外，通过引入高效的集成方案，使得PRNN模型能够在商业有限元软件中更广泛地应用，为实际工程提供了便利。