使用改进的深度Galerkin方法求解双曲电报方程的近似解

《PROCEEDINGS OF THE NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES INDIA SECTION A-PHYSICAL SCIENCES》：Approximate Solution of Hyperbolic Telegraphic Equation Using Modified Deep Galerkin Method

本文提出基于Deep-Galerkin方法的深度神经网络解决方案，结合mLSTM架构和自适应激活函数，有效解决了超导电报方程的数值建模问题，实验表明其精度和效率显著优于传统B-spline等方法。

　　

摘要

本文采用深度伽辽金方法（Deep–Galerkin–Method, DGM）来近似求解双曲电报方程（hyperbolic telegraphic equation, hTE）的解。该方程是一种重要的双曲型偏微分方程（hyperbolic partial differential equation, hPDE），用于模拟应用科学中的各种现象。双曲型偏微分方程在描述结构振动方面具有重要意义，并构成了原子物理方程的基础。深度伽辽金方法利用深度神经网络（deep neural network, DNN）来满足初始条件（initial conditions, ICs）、边界条件（boundary conditions, BCs）以及微分算子（differential operator, DO）。训练过程在随机选取的时间和空间点批次上进行，从而无需构建网格。Adam优化器被用来优化DNN的参数。为了提高DGM的效率，我们提出了一种类似乘性长短期记忆网络（multiplicative long short-term memory, mLSTM）的新型DNN架构。此外，我们采用了基于神经元级别的局部自适应激活函数（neuron-wise locally adaptive activation functions），而非传统的激活函数。实验结果表明，与最近的方法（包括B样条方法、多项式缩放函数方法和插值缩放函数方法）相比，我们的方法取得了显著改进。