在媒体报道下，考虑年龄结构的SVEIR-M流行病模型的动态分析

《Infectious Disease Modelling》：Dynamical Analysis of the SVEIR-M Epidemic Model with Age Structure under media coverage

本文构建了整合年龄结构和媒体信息机制的SVEIR-M传染病模型，分析免疫衰减、潜伏期异质性和媒体反馈对疾病传播的影响，证明基本再生数R0为阈值参数，当R0<1时疾病无稳态全局渐近稳定，R0>1时存在唯一地方病稳态并全局渐近稳定，同时通过数值模拟验证媒体宣传与疫苗接种协同效应可显著降低感染率和死亡率。

　　随着新型传染病的频繁出现和传播，其对公共卫生构成了严重威胁。政府通常依赖非药物干预措施来应对这些疾病，例如封锁、大规模检测和居家隔离等。然而，这些措施虽然在一定程度上能控制疫情传播，但也对社会的正常运行和经济发展带来了显著影响。与此同时，媒体信息对公众行为和健康意识的影响日益显著，成为传染病防控中不可或缺的因素。本文构建了一个结合年龄结构和媒体覆盖机制的SVEIR-M传染病模型，用以描绘不同个体对媒体信息的接受程度差异以及不同年龄阶段疫苗接种效果的差异。该模型引入了诸如免疫衰退、潜伏期发展年龄和媒体信息传播等复杂因素，并通过偏微分方程和Volterra积分工具系统地分析了无病平衡点和流行平衡点的存在性和稳定性。研究证明了基本再生数 $ R_0 $ 在刻画系统动态特性方面起着阈值作用，并通过构建Lyapunov函数展示了在不同条件下平衡点的全局稳定性。此外，还分析了系统的统一持久性，并通过数值模拟验证了理论分析的正确性，讨论了不同干预措施对疫情发展的影响。研究结果表明，媒体宣传和疫苗接种可以显著降低感染率和死亡率，它们的结合能更有效地控制疫情的传播。

在传染病的传播过程中，年龄是一个重要的标签，能够反映个体的生理异质性。生理年龄可以很好地体现一个人对疾病的防御能力，同时也能反映个体的社会接触结构，从而造成个体感染概率和传染能力的差异。传染病的传播强度不仅与个体的生理年龄有关，还与感染后的时间长度（感染年龄）相关。此外，个体的易感性也受到疫苗接种后免疫力持续时间（免疫年龄）的影响。不同年龄段个体在感染性方面的异质性，以及同一感染阶段个体之间的异质性，对传染病的传播具有深远影响。例如，根据美国疾病控制与预防中心（CDC）在2020年10月4日发布的新冠疫情统计数据，美国超过50%的感染者年龄在18至50岁之间，总体死亡率为2.8%，其中18至50岁群体的死亡率超过3%。尽管60岁及以上人群的死亡率较高，但其感染率并不高。此外，不同年龄群体在接收媒体信息的渠道和认知方面也存在显著差异。

因此，针对新兴传染病的传播差异以及不同年龄结构个体对媒体信息认知的多样性，将年龄结构、信息传播时滞和意识行为纳入受媒体影响的传染病模型中，能够更精细、准确地描绘个体疾病意识与传染病的共同演化过程。分析耦合系统模型的动态行为，并探索耦合系统的最优控制策略，具有重要的实际意义和理论参考价值。

随着移动网络和信息技术的发展，社交媒体和信息传播的速度和范围大大增强，也带来了行为流行病学领域的许多成果。一旦人们意识到传染病的危害和传播特性，通常会改变日常行为，采取预防措施以降低感染风险。目前，关于社交媒体和人类行为如何共同影响传染病在宿主群体中的传播，理论研究仍然有限。近年来，一些关于传染病信息耦合的研究推动了传染病行为动力学模型的快速发展。例如，Du等人将个体对流行病风险的意识动力学模型、疾病预防行为采纳模型和SEIR流行病模型结合在一个框架中，全面评估了各种影响因素的相互作用。Buonomo等人考虑了一个没有强制性新冠疫苗接种的传染病模型，假设个体对疫苗接种存在犹豫，他们使用带有信息时滞的媒体信息函数来描述信息量。在广泛的信息覆盖和较短的时滞下，疫苗犹豫和拒绝现象可以得到更好的控制。Li等人使用双非线性函数研究了饱和媒体报道和有限医疗资源对疾病传播的影响。Huo等人构建了一个耦合的负面信息行为流行病学动力学模型，引入Heaviside阶跃函数来探讨决策采纳过程对各层演化的影响。研究结果表明，增强大众媒体的宣传力度和提升个体的自我意识有助于控制疫情。Li等人还研究了一个具有反馈控制的SI传染病模型，在一个斑块环境中，表明在适当控制器下，流行平衡点可以被控制在较低水平并保持稳定。

与上述研究不同，本文的工作将连续的年龄结构纳入一个媒体感知的SVEIR-M框架中，并建立了平衡点的存在性、局部/全局稳定性以及统一持久性。这填补了媒体效应和年龄异质性共同塑造传播和控制结果的空白。

在本文中，提出了一种受媒体影响的年龄结构SVEIR-M传染病模型。与以往研究不同，本文全面考虑了媒体报道对新冠疫情期间传播动力学的影响，并对模型进行了详细的理论分析。第二部分构建了年龄结构SVEIR-M传染病模型。第三部分证明了平衡点的存在性。第四部分证明了稳态解的局部稳定性、统一持久性和全局稳定性。第五部分通过数值模拟验证了上述理论结果。第六部分总结了研究的评价和未来研究的展望。

本模型将总人口划分为易感者、接种疫苗者、潜伏者、感染者和康复者，并引入一个媒体信息变量来描述媒体报道对公众防护意识的增强作用。具体来说，易感者 $ S(t) $ 表示未感染且未接种疫苗的人群。接种疫苗者 $ V(t) $ 由接种疫苗时的年龄分布函数 $ v(t, a) $ 描述，其中 $ a $ 表示接种疫苗的年龄，而 $ \int_0^{a^+} v(t, a) \, da $ 表示接种疫苗者的总密度。潜伏者 $ E(t) $ 由潜伏期密度函数 $ e(t, b) $ 表示，满足 $ \int_0^{b^+} e(t, b) \, db $。感染者 $ I(t) $ 和康复者 $ R(t) $ 分别表示处于传染期和已康复的人群。媒体信息变量 $ M(t) $ 反映了系统中媒体报告和宣传的累积效应，并通过调整易感者的感染率，对传染病传播产生负反馈作用。在没有接种疫苗的情况下，新生儿以恒定速率 $ \mu A $ 进入易感人群，其中 $ \mu $ 是自然死亡率。由于媒体对疫情的影响，假设易感者的感染率受到媒体报告累积意识 $ M(t) $ 的影响。设 $ v(t, a) $ 表示年龄为 $ a $ 的接种疫苗者在时间 $ t $ 的密度，$ a^+ $ 是最大接种疫苗年龄，$ b^+ $ 是最大潜伏期。$ \mu_0 \in (0, \mu] $ 是一个正数，使得 $ w(a) $ 和 $ \delta(b) $ 的值均大于等于 $ \mu_0 $。因此，模型中的函数 $ \sigma(a) $、$ w(a) $ 和 $ \delta(b) $ 被假设为Lipschitz连续的，具有相应的Lipschitz常数 $ M_\sigma $、$ M_w $ 和 $ M_\delta $。年龄 $ a $ 和 $ b $ 分别取值于 $ [0, a^+] $ 和 $ [0, b^+] $，其中 $ a^+ $ 和 $ b^+ $ 是最大接种疫苗年龄和最大可能潜伏期。如果 $ a^+ $、$ b^+ = \infty $，则对于足够大的 $ a $、$ b $，有 $ v(t, a) = 0 $ 和 $ e(t, b) = 0 $，这能够捕捉到实践中观察到的有限支持（或快速衰减）的年龄分布，并确保偏微分方程项的适定性。

在模型中，这些状态变量的演变可以通过一组常微分方程和偏微分方程来描述。模型的边界条件和初始条件分别为：

- 边界条件：$ \frac{\partial v}{\partial a}(t, 0) = p_2 \mu A $，$ \frac{\partial e}{\partial b}(t, 0) = \beta_0 S_0 x_4(t) $。
- 初始条件：$ S(0) = S_0 $，$ v(0, a) = v_0(a) $，$ e(0, b) = e_0(b) $，$ I(0) = I_0 $，$ R(0) = R_0 $，$ M(0) = M_0 $。

其中，$ X $ 是 $ (0, \infty) $ 上非负且Lebesgue可积函数的空间。通过应用常微分方程的标准理论，可以验证系统（1）在初始条件（3）下具有唯一的非负解。

因此，可以得到一个与系统（1）相关的连续半流，即由系统（1）生成的半流 $ \Phi(t) $，其定义为：

$$ \Phi(t, x_0) = (S(t), v(t, a), e(t, b), I(t), R(t), M(t)) $$

其中，$ x_0 \in X $，$ t \geq 0 $。通过应用Volterra公式，并沿特征线 $ t - a = \text{const} $ 和 $ t - b = \text{const} $ 解决系统（1）中的偏微分方程，可以得到：

$$ \rho_1(t) = \int_0^t v(t - a, a) \, da $$
$$ \rho_2(t) = \int_0^t e(t - b, b) \, db $$

这样，系统（1）可以被重新表述为：

$$ \frac{dS}{dt} = \mu A - \beta(M(t)) S(t) - \mu S(t) $$
$$ \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial a} = p_1 \mu A - w(a) v(t, a) $$
$$ \frac{\partial e}{\partial t} + \frac{\partial e}{\partial b} = \beta(M(t)) S(t) - \delta(b) e(t, b) $$
$$ \frac{dI}{dt} = \int_0^{b^+} \delta(b) e(t, b) \, db - \gamma I(t) $$
$$ \frac{dR}{dt} = \gamma I(t) - \mu R(t) $$
$$ \frac{dM}{dt} = u_1 \alpha I(t) - d M(t) $$

系统的状态空间定义为：

$$ \Omega = \left\{ (S, v, e, I, R, M) \in X \times \mathbb{R}^+ \mid S(t) + v(t, a) + e(t, b) + I(t) + R(t) + M(t) = A \right\} $$

通过应用假设2.1和命题2.1，可以得出以下命题：

**命题2.2**：对于常数 $ C_1 \geq A $ 和 $ C_2 \geq a^+ I(t) $，如果 $ x_0 \in X $ 且 $ \|x_0\|_X \leq C_1 $，则对于 $ t \geq 0 $，有以下结论成立：

1. $ S(t) \leq S_0 $。
2. $ e(t, 0) \leq \xi C_1 $。

通过命题2.2，可以进一步验证系统（1）的正向不变性。

接下来，我们讨论系统（1）的正平衡点的存在性。对于系统（1）的稳态解，设 $ S^* $、$ v^*(a) $、$ e^*(b) $、$ I^* $、$ R^* $、$ M^* $ 分别表示稳态解。根据系统（1）的稳态方程：

$$ \mu A = \beta(M^*) S^* + \mu S^* $$
$$ \frac{\partial v^*}{\partial a} = p_1 \mu A - w(a) v^*(t, a) $$
$$ \frac{\partial e^*}{\partial b} = \beta(M^*) S^* - \delta(b) e^*(t, b) $$
$$ \frac{dI^*}{dt} = \int_0^{b^+} \delta(b) e^*(t, b) \, db - \gamma I^* $$
$$ \frac{dR^*}{dt} = \gamma I^* - \mu R^* $$
$$ \frac{dM^*}{dt} = u_1 \alpha I^* - d M^* $$

从第二个方程可以得到：

$$ v^*(0) = p_2 \mu A $$

将其代入第一个方程，可以得到：

$$ \mu A = \beta(M^*) S^* + \mu S^* $$

解得：

$$ S^* = \frac{\mu A}{\beta(M^*) + \mu} $$

类似地，从第三个方程和边界条件 $ e^*(0) = \beta(M^*) S^* $，可以得到：

$$ e^*(b) = \beta(M^*) S^* \int_0^b \delta(b) \, db $$

从第四个方程，可以得到：

$$ \frac{dI^*}{dt} = \int_0^{b^+} \delta(b) e^*(t, b) \, db - \gamma I^* $$

解得：

$$ I^* = \int_0^{b^+} \delta(b) e^*(t, b) \, db / \gamma $$

从第五个方程，可以得到：

$$ \frac{dR^*}{dt} = \gamma I^* - \mu R^* $$

从第六个方程，可以得到：

$$ \frac{dM^*}{dt} = u_1 \alpha I^* - d M^* $$

解得：

$$ M^* = u_1 \alpha I^* / d $$

因此，系统（1）总是存在一个无病平衡点 $ E_0 $。

为了确定系统（1）的流行平衡点的存在性，首先定义基本再生数 $ R_0 $，其基于生物学意义，表示在一小部分易感人群接种疫苗的环境中，一个典型感染者在整个感染期内预计产生的新感染病例数。因此，$ R_0 $ 是系统（1）平衡点稳定性的阈值参数。

如果 $ I^* \neq 0 $，则从第一个方程可以得到：

$$ \mu A = \beta(M^*) S^* + \mu S^* $$

结合前面的推导，可以得出：

$$ S^* = \frac{\mu A}{\beta(M^*) + \mu} $$

因此，系统（1）存在唯一的流行平衡点 $ E^* $。

接下来，我们讨论系统（1）的全局稳定性以及其统一持久性。首先，我们引入Volterra型函数 $ g(x) $，其形式为：

$$ g(x) = \int_0^{a^+} \int_0^{b^+} \beta(M(t)) \left( \frac{\partial v}{\partial a}(t, a) + \frac{\partial e}{\partial b}(t, b) \right) \, da \, db $$

显然，当 $ x > 0 $ 时，$ g(x) \geq 0 $，并且 $ g(x) $ 在 $ x = 1 $ 处取得全局最小值，$ g(1) = 0 $。

在局部稳定性部分，我们讨论了稳态解的局部稳定性。通过引入变量 $ x_1(t) $、$ x_2(t) $、$ x_3(t) $、$ x_4(t) $、$ x_5(t) $、$ x_6(t) $，我们可以得到线性化后的系统（16）：

$$ \frac{dx_1}{dt} = \mu A - \beta(M^*) x_1(t) - \mu x_1(t) $$
$$ \frac{dx_2}{dt} = p_1 \mu A - w(a) x_2(t, a) $$
$$ \frac{dx_3}{dt} = \beta(M^*) x_1(t) - \delta(b) x_3(t, b) $$
$$ \frac{dx_4}{dt} = \int_0^{b^+} \delta(b) x_3(t, b) \, db - \gamma x_4(t) $$
$$ \frac{dx_5}{dt} = \gamma x_4(t) - \mu x_5(t) $$
$$ \frac{dx_6}{dt} = u_1 \alpha x_4(t) - d x_6(t) $$

通过分析特征方程，我们可以得出结论：当 $ R_0 < 1 $ 时，无病平衡点 $ E_0 $ 是局部渐近稳定的；当 $ R_0 > 1 $ 时，无病平衡点 $ E_0 $ 是不稳定的。

在全局稳定性部分，我们使用Lyapunov函数 $ V_0 $ 来分析系统（1）的平衡点。定义：

$$ V_0 = L_s + L_v + L_e + L_i $$

其中，$ L_s $、$ L_v $、$ L_e $、$ L_i $ 分别表示易感者、接种疫苗者、潜伏者和感染者的Lyapunov函数。通过计算这些函数的导数，并结合系统的稳态解，可以得出结论：当 $ R_0 < 1 $ 时，无病平衡点 $ E_0 $ 是全局渐近稳定的。

在统一持久性部分，我们使用了线性标量Volterra积分微分方程的结果。通过定义一个不变集 $ Y $，并结合系统的边界条件，可以证明当 $ R_0 > 1 $ 时，系统（1）具有统一持久性，并且存在一个紧致的全局吸引子。

最后，我们讨论了流行平衡点 $ E^* $ 的全局稳定性。通过构造Lyapunov函数 $ V^* $，并计算其导数，可以得出结论：当 $ R_0 > 1 $ 时，流行平衡点 $ E^* $ 是全局渐近稳定的。

通过以上理论分析，我们可以得出以下结论：

1. 如果 $ R_0 < 1 $，则无病平衡点 $ E_0 $ 是全局渐近稳定的。
2. 如果 $ R_0 > 1 $，则唯一流行平衡点 $ E^* $ 是全局渐近稳定的。

在数值模拟部分，我们使用数值模拟来验证上述理论结果。选择参数为：$ \mu = 0.0168 $，$ \tau = 0.1 $，$ p_1 = 0.03 $，$ p_2 = 1 - p_1 = 0.97 $，$ A = 100 $，$ \gamma = 0.02 $，$ \nu = 0.002 $，$ u_1 = 0.2 $，$ \alpha = 0.05 $，$ d = 0.2 $。初始条件为：$ S_0 = 1000000 $，$ v_0 = 10 $，$ e_0 = 50 $，$ I_0 = 100 $，$ R_0 = 200 $，$ M_0 = 10 $。

通过研究潜伏者 $ e(t, a) $ 和接种疫苗者 $ v(t, a) $ 随时间 $ t $ 和年龄 $ a $ 的变化趋势，可以得出：从年龄维度来看，中年和年轻成年人（如18-50岁）由于活跃的社会接触，潜伏者比例较高；老年人由于接触率较低，潜伏者比例较低。从时间维度来看，疫情初期潜伏者的数量迅速增加，随着媒体覆盖和非药物干预措施的实施，感染率下降，潜伏者的数量逐渐减少。此外，通过研究有效转换率 $ \tau $、感染者对媒体的影响参数 $ u_1 $、从感染者到康复者的恢复率 $ \gamma $ 以及媒体衰减率 $ d $，可以得出：有效转换率 $ \tau $ 的增加会导致感染者的数量在短时间内迅速上升，随后下降，呈现出一个峰值。不同的 $ \tau $ 值会导致峰值时间不同，峰值高度也不同。较大的 $ \tau $ 值（如 $ \tau = 0.4 $）会导致峰值出现得更早，高度更高；而较小的 $ \tau $ 值（如 $ \tau = 0.1 $）会导致峰值出现得更晚，高度较低。这表明 $ \tau $ 参数对这些变量有显著影响，较大的 $ \tau $ 值通常会导致系统对外部影响（如媒体覆盖）的响应速度和强度更高。

感染者对媒体的影响参数 $ u_1 $ 的增加会导致感染者的峰值时间提前，峰值高度降低。这表明较高的 $ u_1 $ 值可能更有效地控制感染的传播。媒体覆盖 $ M(t) $ 的变化趋势也类似，随着 $ u_1 $ 的增加，媒体覆盖的峰值时间提前，峰值高度增加。这可能表明，在较高的 $ u_1 $ 值下，媒体对公众意识的影响更为显著。

恢复率 $ \gamma $ 的增加会导致感染者的峰值减少，且峰值出现时间提前。这表明较高的恢复率有助于更快地减少感染者数量。媒体覆盖 $ M(t) $ 的变化趋势也类似，随着 $ \gamma $ 的增加，媒体覆盖的峰值时间提前，峰值高度增加。这可能表明，在较高的恢复率下，媒体对公众意识的影响更为显著，可能是因为恢复率的增加增强了公众对疾病控制的信心。

媒体衰减率 $ d $ 的增加会导致感染者的峰值减少，且峰值出现时间提前。这表明较高的 $ d $ 值有助于更快地减少感染者数量。媒体覆盖 $ M(t) $ 的变化趋势也类似，随着 $ d $ 的增加，媒体覆盖的峰值时间提前，峰值高度增加。这可能表明，在较高的 $ d $ 值下，媒体对公众意识的影响更为显著。总体来看，参数 $ d $ 的增加有助于更快地实现感染控制，并增强媒体对公众意识的影响。这表明，在公共卫生干预中，提高与疾病相关的死亡率可以有效控制疫情的传播，并可能增强媒体宣传活动的效果。

综上所述，通过有效利用这些参数的最优控制策略，可以显著减少感染人数，加快康复过程，并提高公众对疫情的意识。在疫情控制方面，只要防控措施落实到位，整体形势可以保持稳定，人们可以尽快恢复正常生活。这强调了在公共卫生干预中合理调整和控制这些参数的重要性，以实现对疫情的有效管理和控制。

本研究不仅为构建基于行为流行病学的传染病模型提供了新的方法，也为制定综合干预策略提供了理论支持。未来的研究可以考虑引入更精细的接触网络，考虑不同媒体平台之间的信息传播差异，并利用实际流行病学数据进行参数估计和模型验证，从而进一步提升其在公共卫生决策中的应用价值。