面向非结构网格的图自编码器投影降阶模型及其在对流主导流场中的应用

《Data-Centric Engineering》：Projection-based model-order reduction via graph autoencoders suited for unstructured meshes

针对传统投影降阶方法难以处理对流主导流动和非结构网格的问题，本研究提出几何深度最小二乘Petrov-Galerkin（GD-LSPG）方法，通过图自编码器构建非线性流形，在二维欧拉方程和Burgers方程上验证表明，该方法能显著提升低维空间精度，并为物理模型的可解释性提供新视角。

　　

在计算力学领域，高保真仿真往往需要极高的空间和时间分辨率，导致维数灾难问题。传统投影降阶方法（PMOR）如本征正交分解（POD）在线性问题和扩散主导流动中表现优异，但当面对包含激波、边界层等强非线性特征的对流主导流动时，由于科尔莫戈罗夫n宽度衰减缓慢，传统线性子空间方法需要极高维数才能保持精度，使得降阶效果大打折扣。更棘手的是，工程中广泛使用的非结构网格无法直接应用基于卷积神经网络（CNN）的自编码器，而插值到结构网格又会引入误差并影响泛化能力。

为解决这一难题，研究团队在《Data-Centric Engineering》上提出了名为几何深度最小二乘Petrov-Galerkin（GD-LSPG）的创新方法。该方法首次将图自编码器与投影降阶框架相结合，通过层次化谱聚类构建网格层级结构，利用消息传递和池化（MPP）操作实现维度压缩，最后通过非线性流形LSPG投影将控制方程嵌入潜在空间。该方法的最大突破在于能够直接处理非结构网格，摆脱了对网格规则性的依赖。

关键技术方法包括：1）基于半径图（Radius_Graph）的图结构构建，将网格节点映射为图节点；2）层次化谱聚类算法生成多尺度图结构；3）图自编码器架构设计，包含编码器的消息传递-池化（MPP）层和解码器的解池化-消息传递（UMP）层；4）非线性流形LSPG投影方案，通过解码器雅可比矩阵实现物理约束嵌入。实验使用有限体积法（FVM）离散的Burgers方程和二维欧拉方程作为验证案例。

一维Burgers方程验证结果

在结构化网格上的对比实验表明，GD-LSPG在潜在空间维度为3-10时，状态预测误差比传统POD-LSPG降低一个数量级。特别值得注意的是，解码器雅可比矩阵分析显示，图自编码器的潜在变量能够捕捉移动激波的前沿位置，呈现出类似POD模态但具有时变特性的可解释模式。

二维Riemann问题测试

在非结构网格上求解二维欧拉方程时，GD-LSPG相比插值后使用CNN自编码器的方法表现出更好的泛化能力。如图13所示，在潜在空间维度M=3时，GD-LSPG最差情况下的精度明显优于插值dLSPG的最差情况，且重构误差降低约30%。

圆柱绕流 bow shock 案例

在复杂几何外形问题上，GD-LSPG成功捕捉到弓形激波的演化过程。如图17所示，当来流马赫数μ_in=1.125时，GD-LSPG在M=2的潜在空间下就能准确重现激波结构，而POD-LSPG则出现明显的数值耗散。值得注意的是，解码器雅可比矩阵分析表明，潜在变量主要编码了弓形激波的时空演化信息。

噪声鲁棒性分析

研究还测试了训练数据添加高斯噪声（噪声水平σ_noise=0.01-0.1）的情况。如图22所示，在小潜在空间维度（M=2）时，GD-LSPG表现出较强的噪声鲁棒性，但随着潜在空间维度增大，过拟合现象逐渐明显，说明适度压缩有助于提升模型鲁棒性。

本研究的重要意义在于：首先，GD-LSPG首次实现了非结构网格上的非线性降阶建模，填补了CNN方法在此领域的应用空白；其次，通过解码器雅可比矩阵与POD模态的对比分析，为黑箱模型提供了物理可解释性新思路；最后，该方法在保持精度的同时大幅降低计算维度，为复杂流场的实时仿真和优化设计提供了新工具。尽管当前方法在计算效率上仍有提升空间，但其在几何适应性和非线性建模方面的优势，为计算流体力学模型降阶领域开辟了新的研究方向。