旋转效应下含局部缺陷内孤立波的演化规律及其广义行波解研究

《Journal of Fluid Mechanics》：Evolution of internal cnoidal waves with local defects in a two-layer fluid with and without rotation

本文研究了在旋转和非旋转条件下，两层流体中具有局部缺陷的内孤立波演化问题。作者通过发展同时考虑平均场及其偏离的渐近展开方法，推导出不受"零均值矛盾"限制的Ostrovsky方程解，并首次发现KdV方程的广义行波解。数值模拟表明，旋转作用会显著加速波包爆发，而周期性缺陷在无旋转时表现为长寿命态。该研究为解释海洋中观测到的非完美周期性内波提供了新视角，对理解旋转流体中非线性波演化机制具有重要意义。

　　

在海洋观测中，科学家们经常发现一系列排列整齐的内波，它们看起来就像是一串完美的周期性波浪链。然而，仔细观察会发现这些波浪链往往存在局部缺陷——有的波浪间距异常紧密，有的则异常稀疏，就像一串珍珠项链中偶尔出现了几颗大小不一的珠子。这种现象在海洋内部波动力学中尤为常见，但传统的理论模型往往忽略了这些"不完美"的特征，更少关注地球旋转对它们演化的影响。

图1展示了美国俄勒冈州北部海域温度剖面的时空变化，清晰地显示出内部孤立波列的形成过程。这些波浪在沿海海域、狭窄海峡和河海相互作用区域十分常见，对海洋混合、营养盐输运和海洋工程安全都具有重要影响。然而，现有的理论研究多集中于理想化的周期性波浪或孤立波，对实际海洋中存在的非完美波列演化规律认识不足。

更复杂的是，地球旋转效应会显著改变内波的传播特性。当考虑科里奥利力（Coriolis force）作用时，传统的KdV（Korteweg-de Vries）方程需要扩展为Ostrovsky方程。但这一扩展带来了一个理论难题——Ostrovsky方程要求解必须满足零均值条件，这与实际海洋中波浪可以具有非零平均值的物理现实相矛盾，这就是著名的"零均值矛盾"问题。

为了突破这一理论瓶颈，英国拉夫堡大学的Korsarun Nirunwiroj、Dmitri Tseluiko和Karima Khusnutdinova在《Journal of Fluid Mechanics》上发表了最新研究成果。他们采用Helfrich提出的f平面扩展MMCC（Miyata-Maltseva-Choi-Camassa）模型，创新性地发展了同时描述平均场演化和偏离量的渐近展开方法，成功构建了不受零均值限制的弱非线性解。

研究人员首先建立了MMCC-f（Miyata-Maltseva-Choi-Camassa f-plane）模型的控制方程，这是一个描述不可压缩两层旋转流体的理论框架。在该模型中，流体被分为上下两层，具有不同的密度和深度，界面处存在波动。通过引入Boussinesq近似和适当的无量纲化，他们得到了简化后的弱非线性方程。

图2展示了两层旋转流体的示意图，其中η表示界面位移，h₁和h₂分别为上下层深度，ρ₁和ρ₂为相应密度。研究的关键创新在于将每个变量分解为时间依赖的平均值和对该平均值的偏离，并引入两个慢时间尺度τ=√αt和T=αt（其中α为小振幅参数），以及快速特征变量ξ=x-c₀t（c₀为线性长波速度）。

通过系统的渐近分析，研究团队发现Ostrovsky方程可以完全从平均场变化中解耦出来，而平均场会产生剪切和相位上的附加惯性振荡。这一发现解决了长期存在的零均值矛盾，允许父系统的所有场变量具有任意（且通常时间依赖的）初始平均值。

在数值模拟方面，研究人员主要采用伪谱方法（pseudospectral method）求解Ostrovsky方程。该方法利用快速傅里叶变换算法计算空间导数，结合四阶Runge-Kutta格式进行时间推进，特别适用于周期性边界条件下的光滑问题求解。通过优化积分因子技术，他们实现了高效稳定的数值计算，为研究复杂波演化过程提供了可靠工具。

旋转对经典KdV解的影响

通过数值模拟，研究人员首先考察了旋转对KdV方程经典解的影响。对于孤立波初始条件，旋转会导致形成非定常波包，这一现象与先前研究一致。然而对于cnoidal波（椭圆余弦波）初始条件，旋转会产生较为规则的准周期波型，没有形成明显的波爆发。

图4展示了旋转对KdV cnoidal波初始条件下界面位移的影响，从上（a）和下（b）两个视角显示波型保持相对规则结构。值得注意的是，无论是孤立波还是cnoidal波，界面位移的最大值、最小值和时间演化都是准周期的，没有出现显著的波爆发现象。

呼吸子解与波爆发机制

研究团队进一步考察了cnoidal波背景上的呼吸子（breather）解。呼吸子分为亮呼吸子（bright breather）和暗呼吸子（dark breather）两种类型，它们分别表现为cnoidal波上的凸起和凹陷 dislocation。

图6展示了亮呼吸子（a,c,e,g）和暗呼吸子（b,d,f,h）在cnoidal波背景上的数值解。无旋转时（a,b），呼吸子稳定传播；而有旋转时（c-h），会在界面位移和波传播方向的剪切中产生强烈的向左传播的局域化爆发。这种波爆发在旋转存在时迅速形成并持续增长，其中亮呼吸子情况下的振幅增加了约29%，暗呼吸子情况下增加了约15%。

周期性缺陷与广义行波解

研究中最有趣的发现来自于对cnoidal波引入周期性缺陷的考察。研究人员构造了两种缺陷类型：收缩缺陷（contraction defect）通过在波谷附近对称切除一部分后重新拼接而成；膨胀缺陷（expansion defect）通过在波谷处切割并对称插入一段直线而形成。

图17示意性展示了KdV方程广义行波解的构造方式。令人惊讶的是，在无旋转（KdV regime）情况下，具有膨胀缺陷的cnoidal波表现出极长的寿命，其平滑后的对应物在伪谱模拟中几乎像KdV方程的行波解一样传播。理论分析表明，这类函数满足KdV方程的所有（无穷多）守恒律，其中积分被理解为自然子区间上的求和。

特别地，具有膨胀缺陷的cnoidal波具有连续的一阶导数，满足相关变分问题中非光滑极值点的Weierstrass-Erdmann角条件（corner condition）。这意味着它们是KdV方程的广义（激波状）行波解，这一发现在以往文献中尚未被讨论。

通用局域化缺陷的非线性演化

最后，研究人员考察了cnoidal波带有通用局域化扰动的初始条件。数值模拟显示，无旋转时这类扰动会分解为一对快速移动的亮呼吸子和慢速移动的暗呼吸子，以及随cnoidal波速度移动的膨胀和收缩周期性缺陷。

图12展示了带有通用局域化缺陷的cnoidal波初始条件的数值解。有旋转时，这些"基本"缺陷会进一步导致多个界面位移和波传播方向剪切的爆发，这些爆发在移动参考系中向左传播（即比参考系速度慢）。这种现象与先前研究的非定常波包定性相似，但出现速度快数十倍。

研究还发现，这些效应在计算域大小的自然变化下是结构稳定的。通过改变域内主峰数量（5、7和9个峰值）进行测试，结果表明波爆发现象具有鲁棒性。在膨胀缺陷情况下，T=32时振幅相比初始条件增加约31%；在收缩缺陷情况下，T=25时振幅增加约49%。

图16甚至展示了一个极端波（rogue wave）生成的例子，在特定参数下，初始条件的演化导致了异常大振幅波的形成，这为未来研究海洋极端波浪提供了新思路。

该研究通过理论创新和系统数值模拟，揭示了旋转流体中带有局部缺陷的内波演化规律。其最重要的理论贡献在于解决了Ostrovsky方程推导中的零均值矛盾，并首次发现了KdV方程的广义行波解。这些发现不仅深化了对旋转效应下非线性波动力学的理解，还为解释实际海洋中观测到的复杂波列提供了新机制。未来研究可进一步探讨双向传播效应、深度依赖剪切流影响，以及在强非线性父模型中类似解的存在性和稳定性，从而更全面地揭示海洋内波的丰富动力学行为。