AR(1)模型局部投影残差自助法的理论与应用：一致性与渐进精化

《Econometric Theory》：THE LOCAL PROJECTION RESIDUAL BOOTSTRAP FOR AR(1) MODELS

本文针对AR(1)模型脉冲响应系数置信区间构建问题，提出了一种基于局部投影(LP)的残差自助法(LP-residual bootstrap)。研究证明了该方法在允许单位根、未知形式条件异方差及鞅差分冲击的广泛模型类上具有一致性，并在平稳AR(1)模型下能提供较传统渐近理论更优的覆盖误差修正。该研究为LP推断提供了理论保障，对计量经济学具有重要意义。

　　

在宏观计量经济学和实证宏观经济学研究中，准确估计和推断经济冲击的动态效应——即脉冲响应函数(Impulse Response Function, IRF)——至关重要。Jordà (2005) 提出的局部投影(Local Projection, LP)方法因其设定灵活、计算简便，并能规避传统向量自回归(Vector Autoregression, VAR)模型可能存在的误设定问题，近年来得到了广泛应用。然而，基于LP估计量构建的置信区间，虽然在理论上具有渐近有效性，但蒙特卡洛模拟表明，其在小样本下的实际覆盖概率往往低于名义水平，存在覆盖失真问题。尽管实践中推荐使用自助法(Bootstrap)版本来改善这一问题，但这些自助法的理论性质，即便是对于最简单的AR(1)模型，也尚属未知。这一理论空白使得研究者在使用LP方法进行统计推断时缺乏坚实的理论依据。

为了填补这一空白，Amilcar Velez 在《Econometric Theory》上发表了题为“The Local Projection Residual Bootstrap for AR(1) Models”的论文，专门针对AR(1)模型提出了一种新的自助法——LP残差自助法(LP-residual bootstrap)，并系统性地研究了其理论性质。这项研究旨在为LP推断提供一个具有理论保证的、更可靠的置信区间构造工具。

为了回答上述问题，作者主要运用了以下关键技术方法：首先，基于AR(1)数据生成过程设定和滞后增强LP回归模型进行参数估计；其次，构建了基于LP估计量的t型统计量作为推断的“根”(root)；然后，设计了详细的残差自助法步骤来近似该“根”的分布，从而计算自助临界值；最后，通过严格的概率论和渐近理论分析（包括一致收敛定理和Edgeworth展开技术），在允许单位根和条件异方差的宽泛条件下，证明了所提自助法的一致性和有效性，并在平稳条件下证明了其相对于一阶渐近理论的渐进精化(Asymptotic Refinements)性质。

理论性质分析

1. 一致性结果

作者首先证明了LP残差自助法在参数空间ρ ∈ [-1, 1]上以及广泛的中间期限(intermediate horizons, 即h_n = o(n))范围内具有一致性。这意味着，无论真实的数据生成过程是平稳的(|\u03c1| < 1)、包含单位根(\u03c1 = 1)，还是局部到单位的过程，并且允许误差项存在未知形式的条件异方差（如GARCH效应）和鞅差分序列性质，基于自助法构造的置信区间C^*_n(h, 1-\u03b1)的渐近覆盖概率都能均匀地收敛于名义水平1-\u03b1。这一结果为在复杂实际数据环境下安全使用LP方法提供了强有力的理论支持。

2. 渐进精化结果

在更强的假设下（如平稳性|\u03c1| \u2264 1-a, a \u2208 (0,1)且误差项为独立同分布），作者进一步证明了LP残差自助法能够提供渐进精化。具体而言，传统基于渐近正态分布的置信区间C_n(h, 1-\u03b1)的覆盖概率误差(Error in Coverage Probability, ECP)大小为O(n^-1)，而自助置信区间C^*_n(h, 1-\u03b1)的ECP大小为o(n^-1)，甚至可以达到o(n^-(1+\u03b5))（对于某个\u03b5 \u2208 (0,1/2)）。这表明在小样本情况下，自助区间能提供更精确的推断。

模拟研究

为了评估所提方法在有限样本下的表现，作者进行了广泛的蒙特卡洛模拟。模拟考虑了不同的误差分布（如i.i.d.正态、GARCH、t分布、混合分布）和不同的自回归系数（\u03c1 = 0.95, 1.00），样本量设定为n=95（基于相关文献的中位数）。

模拟结果表明：

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  与基于渐近理论的置信区间(AA)相比，LP残差自助法置信区间(RB)在各种设定下，尤其是在接近单位根的情况和较长的预测期，其覆盖概率更接近名义水平90%。
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  对称百分位-t自助区间(RB)通常比等尾百分位-t自助区间(RB_per-t)表现更好。
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  与LP野生自助法(WB)和网格自助法(GBLR)等其他自助方法相比，LP残差自助法在允许条件异方差时表现出优势，而网格自助法在GARCH设定下存在覆盖失真。
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  当误差分布不满足理论假设（如存在偏态）时，某些方法的性能会下降，这凸显了理论假设的重要性。

扩展到VAR模型

尽管文章的理论核心是针对AR(1)模型，但作者在第七节简要描述了如何将LP残差自助法推广到VAR(p)模型，用于推断向量脉冲响应函数的线性组合。虽然此时方法的理论性质尚待未来研究，但补充材料中的模拟结果表明其潜在的应用价值。

研究结论与意义

本研究首次为AR(1)模型的LP推断提供了一个具有严格理论基础的Bootstrap方法。其主要贡献在于：

1. 1.
   理论保障：证明了LP残差自助法在包含单位根和条件异方差的宽泛模型类上的一致有效性，解决了此前LP自助法缺乏理论支撑的问题。
2. 2.
   精度提升：在平稳条件下，证明了该方法能提供渐进精化，意味着在实际应用中，尤其是在样本量有限时，能获得比传统渐近方法更可靠的推断结果。
3. 3.
   实践指导：通过模拟研究比较了多种置信区间的性能，为实证研究者选择合适的方法提供了参考。建议在实践中，尤其是在数据特征复杂（如可能存在持久性、异方差性）时，优先考虑LP残差自助法。
4. 4.
   拓展方向：文章为将该方法推广到更一般的VAR模型奠定了初步基础，并指出了未来研究的几个重要方向，包括证明VAR模型下的统一一致性、以及在单位根情形下的渐进精化性质等。

总之，这项研究显著推进了基于局部投影的统计推断理论，为宏观经济学和其他领域的时间序列分析提供了更稳健、更可靠的工具。