希尔伯特空间中的图分数傅里叶变换

《IEEE Transactions on Signal and Information Processing over Networks》：The Graph Fractional Fourier Transform in Hilbert Space

图信号处理（GSP）通过挖掘图结构内在信号特性实现高维数据提取。本文提出图分数傅里叶变换（HGFRFT），将希尔伯特空间和顶点域傅里叶分析扩展至分数阶，支持连续图域处理并保持加性、交换性和可逆性。经滤波、采样理论分析和数值实验验证，HGFRFT显著提升了广义图信号的分数域处理能力。

　　

摘要：

图信号处理（Graph Signal Processing，GSP）利用图中的固有信号结构来提取高维数据，而无需依赖平移不变性。它已成为多个领域中的关键工具，包括各种网络的学习与处理、数据分析和图像处理。在本文中，我们介绍了希尔伯特空间中的图分数傅里叶变换（Graph Fractional Fourier Transform，HGFRFT），该变换通过将希尔伯特空间和顶点域傅里叶分析扩展到分数阶，为广义图信号处理提供了额外的分析工具。首先，我们证明了所提出的HGFRFT扩展了传统的GSP，能够处理连续域上的图，并且在保持加性、交换性和可逆性等关键属性的同时，实现了时间和顶点域的联合变换。其次，为了处理分数域中的广义图信号，我们探讨了分数域中信号滤波和采样的理论。最后，我们的仿真和数值实验验证了HGFRFT所带来的优势和改进。

引言

鉴于非欧几里得空间和不规则域上数据的复杂性不断增加，图信号处理（GSP）在理论和应用方面的研究近年来取得了迅速发展[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], [13]。在GSP框架内，已经建立了两种主要的信号处理方法[1], [2]。第一种方法利用拉普拉斯矩阵的概念[1]，而第二种方法基于代数信号处理，采用图邻接矩阵，该矩阵也被称为图移位算子[2], [3]。