非厄米拓扑零模在光滑畴壁处的精确解及其普适关系研究

《Progress of Theoretical and Experimental Physics》：Nonhermitian topological zero modes at smooth domain walls: Exact solutions

本文研究了非厄米系统中光滑畴壁处拓扑零模的精确波函数解。作者通过求解非厄米修正Jackiw-Rebbi方程，揭示了零模的局域化长度、振荡波长与体拓扑不变量之间的普适关系，建立了非厄米线能隙系统的体-边界对应。该研究为实验探测非厄米拓扑零模提供了理论依据，对理解非拓扑物态在非平衡系统中的行为具有重要意义。

　　

在凝聚态物理中，拓扑绝缘体和超导体因其表面存在受拓扑保护的边界态而备受关注。传统的体-边界对应关系告诉我们，体拓扑不变量可以预测边界态的数量，但无法描述这些态的具体物理性质，比如它们的局域化长度或波函数是否振荡。近年来，非厄米系统——描述开放系统、具有增益或损耗的物理体系——成为研究热点。非厄米系统能谱可以是复数的，并展现出点能隙或线能隙。特别是，具有线能隙的非厄米系统可以通过绝热形变连接到厄米系统，这使得将拓扑概念推广到非厄米体系成为可能。然而，对于光滑的畴壁（即拓扑相变发生在有限宽度的区域，而非突变的界面），非厄米拓扑零模的精确波函数形式及其性质仍然是一个悬而未决的问题，这限制了我们对其局域化行为的深入理解。

为了解决这一问题，发表在《Progress of Theoretical and Experimental Physics》上的这项研究，通过求解非厄米修正Jackiw-Rebbi方程，首次给出了光滑畴壁处零能模的精确解析波函数。研究人员将质量项和狄拉克速度项视为空间依赖的复数字段，从而将问题推广到非厄米情形。他们采用坐标变换将整个实线映射到有限区间，并利用超几何函数求得了方程的精确解。

研究主要采用了理论分析与解析求解的方法。关键步骤包括：通过变量变换将偏微分方程化为超几何方程；利用超几何函数的渐近行为分析波函数的边界条件；定义非厄米拓扑不变量（W_L,R）和拓扑质量（M_L,R）来刻画体系的拓扑相。

2 零能模的精确波函数

2.1 非厄米体系中的修正Jackiw-Rebbi方程

研究人员考虑了一个修正的Jackiw-Rebbi方程，其中质量项m(x)和速度项v(x)均为空间依赖的复数。该方程描述了具有手征对称性的非厄米拓扑相（Altland-Zirnbauer类BDI）。通过将零能解表示为特定形式的旋量，问题转化为一个关于标量函数φ(x)的二阶微分方程。当字段在远距离趋于常数时，方程在无穷远处存在正则奇点，其指标由渐近值m_L,R和v_L,R决定。

2.2 线能隙非厄米拓扑

在均匀场假设下，系统的复能谱具有实线能隙。线能隙的闭合条件由M = |Re(√(v2+m))| - |Re(v)| = 0定义，这标志拓扑相变点。非厄米拓扑不变量W在M<0时取值为sgn(Re(v))，否则为0，这与厄米极限下的结果一致。

2.3 精确波函数

通过巧妙的坐标变换y(x) = (1+tanh(x/2w))/2，将实线映射到(0,1)区间，研究人员得到了零模波函数的一般形式。解由两个线性无关的解φ_1,2^s(x)叠加而成，每个解都包含一个由渐近指数α_L^± = -sv_L ± q_L和α_R^± = sv_R ± q_R（其中q_L,R = √(v_L,R2 + m_L,R)）控制的渐近行为，以及一个由超几何函数描述的在畴壁附近的细节行为。当m(x)和v(x)可展开为y(x)的多项式时，超几何函数可明确写出。

3 非厄米体-边界对应

3.1 拓扑不变量

研究定义了局域拓扑不变量W(x)和拓扑质量M(x)，它们依赖于字段的局部值。在渐近区域，这些量趋于常数W_L,R和M_L,R。通过分析波函数解的渐近衰减率（由Re(α_L,R^±)的符号决定），研究建立了非厄米体-边界对应。

3.2 无限区间(-∞, ∞)

在无限大系统中，零能模存在的条件是左右拓扑不变量之差非零，即|W_L - W_R| = 1或2。具体地，当W_LW_R = -1时，存在两个零模；当|W_L|=1而W_R=0，或反之，时存在一个零模。这些零模的波函数在x→±∞时指数衰减，其衰减速率和振荡行为由α_L,R^±的实部和虚部决定。

3.3 半无限区间[0, ∞)

在半无限系统中，当边界处的拓扑不变量W_R ≠ 0时，存在一个零模。该零模是φ₁^s(x)和φ₂^s(x)的线性组合，系数由x=0处的边界条件确定。

4 零模的性质

4.1 振荡行为

零模的振荡行为由K_L,R = |Im(q_L,R)| + |Im(v_L,R)|决定。若K_L,R = 0，则波函数纯指数衰减；若K_L,R ≠ 0，则波函数呈现指数阻尼振荡。

4.2 实性

在厄米情况下，波函数可选为实的；而在非厄米情况下，波函数本质是复的，其相位在空间非均匀。

4.3 长度尺度与“发型”

根据畴壁宽度w与局域化长度ξ的关系，零模被分类为“无毛”（w→0，特征由渐近指数完全描述）、“短毛”（ξ > w，在远距离看似无毛）和“长毛”（w > ξ，在所有尺度都显示非平凡结构）。这些分类形象地描述了畴壁平滑度对零模波函数细节的影响。

4.4 局域性质与局域拓扑不变量

引入局域拓扑不变量W(x)和拓扑质量M(x)有助于理解零模在畴壁附近的局域化位置。零模倾向于局域在W(x)发生符号变化的点附近。

4.5 实例

论文展示了不同参数下的零模波函数，包括短毛和长毛的情况，直观地验证了理论分析。

4.6 实验探测

研究揭示了一个普适关系：μ_L,R + iκ_L,R = ±v_L,R ± √(v_L,R2 + m_L,R)。在渐近厄米且存在阻尼振荡（K_L,R≠0）的情况下，此关系简化为κ²_L,R + μ²_L,R = -m_L,R。该关系将零模的局域化性质（可测量量）与体的拓扑性质联系起来，为通过空间分辨光谱学实验验证非厄米拓扑零模提供了可行性方案。

4.7 拓扑相与微分阶数

研究指出，哈密顿量所对应微分方程的阶数限制了拓扑保护模的最大数量以及拓扑相的数量。对于二阶方程（如修正Jackiw-Rebbi方程），最多存在两个拓扑保护边界态，拓扑不变量|W| ≤ 1。

本研究通过解析求解非厄米修正Jackiw-Rebbi方程，成功推导了光滑畴壁处拓扑零模的精确波函数，并建立了非厄米体系中的体-边界对应关系。研究首次揭示了零模的衰减速率、振荡波长与体拓扑不变量之间的普适关系，该关系不依赖于标量场的具体空间变化形式。这不仅深化了对非厄米拓扑物态中边界模局域化行为的理解，而且为实验上探测和验证非厄米拓扑零模提供了直接的理论依据和可行的实验方案。研究成果可推广到其他具有线能隙、点能隙的非厄米拓扑相，对拓扑绝缘体、超导体以及非平衡系统等领域均有重要意义。