利用偏微分方程恢复部分损坏的指纹

《Pattern Recognition》：Restoration of partially damaged fingerprints using a partial differential equation

指纹图像修复方法研究

　　指纹识别作为生物识别技术的一种，因其独特的个体特征和不可更改的特性，被广泛应用于民事身份识别、法医学调查以及商业安全系统等多个领域。随着技术的发展，指纹识别系统的准确性和可靠性不断提升，然而，实际应用中输入的指纹图像往往受到各种因素的影响，如低对比度、模糊的纹线结构、划痕、断裂或遮挡等，这些都会对识别效果造成不利影响。因此，恢复受损指纹图像，特别是那些具有低对比度和不清晰纹线边界的情况，成为提高识别准确性的关键步骤。本文提出了一种新的扫掠排序算法，结合偏微分方程（PDE）方法，用于修复部分受损的指纹图像。这种方法不仅提高了计算效率，还增强了图像恢复的稳定性和准确性。

指纹的结构模式多种多样，通常被分为三大类：环形、螺旋形和弓形。环形指纹是最常见的类型，其纹线在手指的同一侧进入和退出。螺旋形指纹则呈现出圆形或螺旋状的模式，而弓形指纹较为简单，纹线从一侧平滑地流向另一侧，不形成环形。这些不同的结构模式，加上个体特有的细节点，使得指纹具有高度的独特性。然而，指纹结构的多样性也给图像修复技术带来了挑战，因为不同的模式可能需要专门的算法来准确地重建纹线结构。因此，针对不同类型的指纹损伤，开发具有适应性的修复方法至关重要。

指纹图像的损伤类型因采集过程、环境条件和物理处理方式的不同而有所差异。常见的损伤包括划痕、污渍和纹线结构的部分消失。例如，一些基于纹线建模的方法利用上下文信息来恢复受损区域中丢失的复杂纹线结构。此外，一种基于三角形中点（MTS）的可靠方法也被提出，该方法通过引入新的特征来解决由于几何畸变引起的指纹识别问题。这种方法能够有效应对图像质量中的各种不确定性因素，从而实现对低质量图像的快速检测和排除，确保自动指纹识别系统（AFIS）仅处理高质量的图像。这些创新方法展示了先进修复技术在处理不同类型指纹损伤方面的适应性。

近年来，机器学习技术在指纹图像修复领域取得了显著进展。例如，基于卷积神经网络（CNN）和生成对抗网络（GAN）的算法已被证明在指纹修复任务中表现出色。更进一步，基于Unet的模型被用于分割和重建隐藏指纹，从而提升了从噪声和不完整图像中恢复细部特征的能力。此外，Pix2Pix条件生成对抗网络（cGANs）被用于重建受损区域，通过利用三元组损失函数实现了高精度的图像修复。KNN-SVD方法则通过相似块匹配和奇异值优化来恢复受损指纹区域，展示了在受损指纹识别中提升性能的潜力。这些方法表明，机器学习技术在处理指纹图像修复问题上具有广阔的应用前景。

除了机器学习方法，数学模型也为解决指纹修复问题提供了强有力的框架。偏微分方程（PDE）因其能够建模复杂的修复任务，而受到越来越多的关注。PDE方法通过考虑图像的局部和非局部特性，能够有效地模拟图像的恢复过程。其中，相场模型因其能够结合图像的局部和非局部特性，而被广泛应用于图像分割、形状变换和图像补全等多个任务。此外，关于PDE模型的高效数值方法和其扩展应用的研究也在不断深入，进一步拓展了其在不同应用场景中的适用性。例如，Li等人开发了一种基于非局部Cahn-Hilliard（CH）方程的高效方法，该方法在重建纹线结构和保持受损区域之间的平滑过渡方面表现出色。同样，Lee等人开发了一种半自动方法，该方法结合了带有源项的CH方程，通过自动确定必要的参数值来减少用户干预，从而简化了修复过程。

本文的研究目的是提出一种新的扫掠排序算法，用于修复部分受损的指纹图像。与基于机器学习和深度学习的方法不同，所提出的方法不需要在大规模指纹数据集上进行大量训练，而是仅利用单张图像中受损区域附近的局部信息。这种方法旨在克服传统指纹修复技术的固有局限，特别是在使用Gauss-Seidel型迭代方案时常见的方向性偏差问题。方向性偏差是由数值更新过程中固定的遍历模式引起的，导致在计算域内修正的传播不均衡。为了缓解这一问题，本文引入了两项重要改进：使用各向同性的拉普拉斯算子和螺旋扫掠排序算法。各向同性的拉普拉斯算子确保了旋转不变性，减少了数值各向异性，使得无论计算域的取向如何，都能得到准确的数值解。而螺旋扫掠排序算法则通过交替进行顺时针和逆时针更新，消除了方向依赖性，从而确保修复过程的平衡性。

此外，本文还解决了受损指纹图像与从控制方程中得出的数值解之间的尺度不匹配问题。这种不匹配可能会损害修复的准确性，因此需要加以解决。为此，本文提出了一种新的图像缩放参数，该参数是根据数值解的振幅来确定的。通过引入这一参数，可以确保在不同损伤程度和图像特性下，修复效果的一致性和可靠性。通过这些改进，本文旨在提出一种稳健的指纹修复方法，并提升计算效率和重建纹线结构的准确性。

本文的结构如下。第二部分描述了所提出的扫掠技术及其在指纹修复中的改进。第三部分展示了用于验证所提出方法效率的数值实验。最后一部分总结了本文的研究成果。

在所提出的数值算法中，我们通过求解非局部CH方程，结合高效的扫掠排序方案，来修复受损的指纹图像。对于二维图像表示，设Ω_in为用户定义的受损区域，而Ω为矩形域。Ω_in的边界记为?Ω_in。给定的灰度指纹图像记为f(x)，通常，灰度数字图像数据由像素组成，其值范围在0到255之间。为了将灰度图像转换为适合处理的形式，我们采用了一种基于PDE的数学方法。该方法利用各向同性的拉普拉斯算子和螺旋扫掠排序算法，确保在修复过程中，修正能够均匀地传播，避免方向性偏差带来的不均衡问题。此外，通过引入新的图像缩放参数，我们能够解决受损图像与数值解之间的尺度不匹配问题，从而提高修复的准确性。

为了验证所提出方法的有效性，我们进行了数值实验，包括计算分析和模拟。初始条件和边界条件分别为?_ij⁰ = 0在Ω_in上，以及?_ijⁿ = f?_ij在?Ω_in上，其中n = 0, 1, ...。计算域被限制为用户选择的区域Ω_in。除非另有说明，我们使用h = 1，Δt = 0.2，ε = 0.9，α = 0.09作为默认参数。图4展示了使用所提出的螺旋扫掠算法对受损指纹图像的时间演化过程。从图中可以看出，该算法能够有效地恢复受损区域的纹线结构，同时保持图像的整体平滑性。

在结论部分，本文总结了所提出方法的主要成果。通过引入新的扫掠排序算法，结合Gauss-Seidel型更新方法和各向同性的拉普拉斯算子，我们成功地解决了传统指纹修复技术中存在的方向性偏差问题。同时，通过引入新的图像缩放参数，我们有效应对了受损图像与数值解之间的尺度不匹配问题，从而提高了修复的准确性和稳定性。这些改进使得所提出的方法在处理部分受损指纹图像时具有更强的适应性和鲁棒性。

本文的作者贡献如下。Sangkwon Kim负责撰写、审阅和编辑论文，提供可视化支持，开发软件，提出方法并进行研究。Yibao Li负责撰写、审阅和编辑论文，进行验证，提出方法并进行研究。Soobin Kwak负责撰写论文，提供可视化支持，提出方法并进行研究。Junseok Kim负责撰写、审阅和编辑论文，进行验证，提供指导，提出方法并进行研究。这些作者在论文的撰写和研究过程中各自发挥了重要作用，共同推动了指纹修复技术的发展。

最后，本文声明作者没有已知的财务利益或个人关系可能影响本文所报告的研究成果。我们衷心感谢评审者的建设性反馈和宝贵意见，这些意见对论文的完善起到了关键作用。同时，我们也要感谢支持本研究的机构和资助方，他们为本研究提供了必要的资源和条件。

总之，本文提出了一种新的扫掠排序算法，结合非局部CH方程，用于修复部分受损的指纹图像。该方法通过消除方向性偏差和尺度不匹配问题，提高了修复的准确性和稳定性。同时，通过引入各向同性的拉普拉斯算子和螺旋扫掠排序算法，使得修复过程更加平衡和高效。这些改进为指纹识别技术提供了新的解决方案，有助于提升实际应用中的识别性能。