直到停止时间为止的最小观测值的分布，及其在更新过程中的最小间隔应用

《Journal of Applied Probability》：The distribution of the minimum observation until a stopping time, with an application to the minimal spacing in a Renewal process

随机变量序列最小观测值分布及更新过程的概率测度变换方法研究，提出基于截断概率测度的最小值分布分析方法，应用于间隔时间服从更新过程分布的随机变量最小值研究，推导泊松过程、Erlang分布和均匀分布下的精确公式及尾部概率界限，并给出数值验证与应用讨论。

　　

摘要

设 $\{X_{i}\}_{i\geq1}$ 是一组独立同分布的随机变量，$T \in \{1,2,\ldots\}$ 是与这组随机变量相关联的停止时刻。在本文中，我们提出了一种基于适当改变概率空间初始概率测度的方法，将其转换为关于 $X_{i}$ 的截断（移位）概率测度，从而得到了在停止时刻 $T$ 之前最小观测值 $\min\{X_{1},X_{2},\ldots,X_{T}\}$ 的分布。作为上述一般结果的应用，考虑随机变量 $X_{1},X_{2},\ldots$ 作为更新计数过程 $\{Y_{t},t\geq0\}$ 中事件连续出现之间的间隔时间，而停止时刻 $T$ 被定义为 $X_{i}$ 的累积和首次超过 $t$ 时的项数，即 $T = Y_{t} + 1$。在这种设定下，我们研究了在区间 [0, $t$] 内开始的最小间隔时间 $D_{t} = \min\{X_{1},X_{2},\ldots,X_{Y_{t}+1\}$ 的分布，并获得了 $D_{t}$ 的随机排序关系。此外，当事件间隔时间具有递增/递减的失败率特性时，还给出了 $D_{t}$ 的尾部概率的界限。在泊松过程的特殊情况下，推导出了 $D_{t}$ 的精确公式、封闭形式界限以及渐近结果。对于具有Erlang分布和均匀间隔时间的更新过程，也提出了 $D_{t}$ 的精确和近似公式。最后，通过数值示例说明了上述精确和渐近结果，并简要讨论了实际应用。

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