稳定曲线模空间的格罗滕迪克类显式公式：斯特林数与伯努利数的组合

《Moduli》：Explicit formulas for the Grothendieck class of $\overline {\mathcal{M}}_{0,n}$

本文针对稳定n点标记有理曲线模空间?M0,n?的格罗滕迪克类与贝蒂数显式表达这一经典难题，通过求解生成函数满足的微分方程，首次给出了以斯特林数（Stirling numbers）与伯努利数（Bernoulli numbers）表示的闭式解，并进一步揭示了其与Lambert?W函数的内在联系，为研究模空间的拓扑与计数几何性质提供了全新工具。

　　

在代数几何与拓扑学中，模空间（moduli space）是分类几何对象的核心工具，其中?M0,n?即表示带?n?个标记点的稳定有理曲线（genus?0?stable curves）的模空间。该空间自20世纪90年代Keel、Getzler、Manin等人的奠基性工作以来，其拓扑结构尤其是贝蒂数（Betti numbers）与格罗滕迪克类（Grothendieck class）的显式表达一直是难点。尽管已知其庞加莱多项式（Poincaré polynomial）满足递归关系，但显式组合公式长期缺失。这一问题的解决不仅关乎模空间本身的几何理解，也对组合数学中斯特林数、伯努利数等经典序列的深层性质提出挑战。

为突破这一难题，Aluffi、Marcolli与Nascimento在《Moduli》上发表论文，通过分析生成函数?M(z,L)=1+z+∑n≥3[M0,n](n?1)!zn?1?所满足的微分方程（由Manin提出并等价于Keel的贝蒂数递归），结合拉格朗日反演（Lagrange inversion）与组合恒等式，首次推导出?M0,n?的格罗滕迪克类的闭式表达式。该表达式以斯特林数（第一类?s(n,k)?与第二类?S(n,k)?）的二元求和形式呈现，并进一步转化为含伯努利数的显式公式。研究还发现生成函数可表示为Lambert?W函数主分支（principal branch）的有理级数，揭示了模空间拓扑与特殊函数之间的深刻联系。

关键技术方法包括：1. 利用生成函数?M(z,L)?的微分方程特征，通过拉格朗日反演法求解；2. 引入多项式族?pm(k)(z)?以分离各贝蒂数的生成函数，并通过组合恒等式（如Vandermonde卷积的推广形式）验证其收敛性；3. 借助树函数（tree function）?T(t)=?W(?t)?将生成函数重构为有理形式，从而连通模空间类与Lambert?W函数；4. 使用斯特林矩阵（Stirling matrices）的迹公式重新表述格罗滕迪克类，凸显其组合本质。

显式公式的推导与等价形式

通过求解生成函数?M?的微分方程??z?M=1+L(1+z)?LMM，研究团队得到其两种显式表达式：其一为含指数?L?+1???的无穷级数，其二为双重求和形式，其中系数由斯特林数乘积构成。关键步骤在于验证该级数满足初始条件?M∣z=0=1，这归结为对整数?m>1?证明二项式恒等式?∑?≥0?+11(?m(?+1))(m2m(m2?1)m?1)?=(1?m21)?m，其成立由拉格朗日反演引理保证。

贝蒂数的组合公式

基于格罗滕迪克类的显式公式，可直接读出贝蒂数?dimH2?(M0,n)?的表达式。例如，对?n=10，??=6?时，通过斯特林数计算得?dimH12(M0,10)=63173。进一步，利用伯努利数重写求和项，得到贝蒂数的另一种显式形式，其中系数?Cnki?由伯努利数?Bj?的线性组合表示。这揭示了贝蒂数的数论背景，如对?n=5，??=6?时公式给出?0，符合?M0,5?的上同调维数限制。

多项式?pm(k)(z)?的结构与性质

研究引入的多项式?pm(k)(z)?用于描述各贝蒂数的生成函数?αk(z)=∑n≥3dimH2k(M0,n)(n?1)!zn?1，其满足?αk(z)=ez∑m=0k(?1)mpm(k)(z)e(k?m)z。通过分析生成函数?P(z,t,u)=∑m,?pm(m+?)(z)umt?，论文证明?pm(k)(z)?的系数?cmj(k)?可表示为?(k?m+1)!(k?m+1)k?2m+j?Γmj(k?m)，其中?Γmj(?)?为???的多项式且对所有??≥0?取正值。这不仅证实了?pm(k)(z)?系数的正性（支持其超对数凹性猜想），还提供了贝蒂数的另一显式公式：

dimH2?(M0,n)=∑k+m=?(?1)mk!(k+1)n?2+k?m∑j=02m(n?1)?(n?j)Γmj(k)。

与Lambert?W函数的关系

生成函数?M?可表示为树函数?T(t)=?W(?t)?的有理级数：?M=LT∑m≥0(1?T)2m?1(?1)mFm(z,T)Lm，其中?T=T(ezL)，?Fm(z,T)?为二元多项式。这一定理通过将?P(z,t,u)?的系数?Pm(z,t)?重构为?eTFm(z,T)/(1?T)2m?1?而得证，揭示了模空间的拓扑生成函数与特殊函数论的自然交融。

斯特林矩阵的迹公式

格罗滕迪克类还可通过斯特林数矩阵?s=(s(i,j))?与?S=(S(i,j))?的运算表示：

[M0,n]=(1?L)n?1?trn?2(1L?s?1L?1?S?1L)，

其中?trn?2?表示矩阵的第?n?2?条次对角线求和。该公式将拓扑不变量转化为矩阵迹的显式计算，为例如?n=6?时验证?[M0,6]=1+16L+16L2+L3?提供了组合工具。

欧拉示性数的特殊函数表达

当?L=1?时，生成函数?χ(z)=M(z,1)?给出欧拉示性数?χ(M0,n)?的生成函数，其闭合形式为

χ(z)=?W?1(?(z+2)e?2)z+2，

其中?W?1?为Lambert?W函数的另一实分支。尽管该表达式未直接给出欧拉示性数的显式公式，但通过贝蒂数公式可推导其组合表示。

本研究通过融合组合数学、特殊函数与代数几何，彻底解决了?M0,n?格罗滕迪克类的显式化问题，所提公式均为有限求和且系数为正，强化了该模空间拓扑的组合本质。未来方向包括利用所得公式研究贝蒂数的对数凹性（log-concavity）及对称群?Sn?在该模空间上同调中的表示理论。