基于动量加速近端缩放梯度投影算法的图像去模糊优化方法研究

《Frontiers in Big Data》：M-PSGP: a momentum-based proximal scaled gradient projection algorithm for nonsmooth optimization with application to image deblurring

本综述系统阐述了M-PSGP（动量加速近端缩放梯度投影）算法在l1正则化优化问题中的创新应用。通过引入改进的步长规则BB2*和统一动量框架（UM），该算法在图像去模糊任务中显著提升了收敛速度与重构质量（PSNR/SSIM指标）。研究通过对比实验验证了其在处理高斯模糊噪声模型中的优越性，为医学影像（如CT、MRI）和天文图像重建提供了新的优化范式。

　　

引言

图像去模糊是计算成像领域的核心问题，其本质是求解ill-conditioned逆问题。传统方法采用贝叶斯框架将去模糊建模为复合优化问题，目标函数包含数据保真项（最小二乘函数）和正则化项（l₁范数）。由于模糊核矩阵A的病态特性，直接求解易受扰动影响，需引入优化算法进行稳定求解。

问题建模与算法基础

研究将图像去模糊转化为非负约束的l₁正则化优化问题。目标函数F(x) = 1/2||Ax-y||² + λ||x||₁，其中y为观测图像，x为待重建图像，λ为正则化参数。该问题具有非光滑、凸函数特性，需采用近端梯度方法求解。经典SGP（缩放梯度投影）算法通过引入对角缩放矩阵D_k和BB（Barzilai-Borwein）步长规则提升收敛效率，但其收敛速度仍受限于梯度振荡问题。

M-PSGP算法创新点

本研究提出M-PSGP算法，核心创新包含两方面：

1. 1.
   步长规则优化：提出BB2步长规则，通过划分零分量集（J_k）与非零分量集（I_k），将步长计算聚焦于有效活跃子空间，其表达式为α_k^BB2 = (s_Ik-1^TD_kz_Ik-1)/(z_Ik-1^TD_kD_kz_Ik-1)。结合切换策略（SS规则）自适应选择BB1或BB2步长，平衡收敛速度与稳定性。
2. 2.
   动量加速框架：引入统一动量（UM）框架，其迭代格式为y_k = x_k - α?f(x_k), y_k^s = x_k - sα?f(x_k), x_k+1 = y_k + η(y_k^s - y_k-1^s)。通过调节参数s可实现HB（s=0）、NAG（s=1）和GM（s=1/(1-η))等经典动量变体，利用历史梯度信息抑制振荡。

收敛性分析

通过构造Lyapunov函数Ψ_k = F(x) + ρ/(2α_k)||e_k||²，证明算法满足下降引理Ψ_k+1 ≤ Ψ_k - σβ^w_k|?f(x_k)^Td_k|。结合非单调线搜索策略，确保在水平集有界条件下序列收敛到稳定点。计算复杂度分析表明，因采用FFT加速，每次迭代复杂度为O(n log n)，显著优于直接矩阵运算的O(n²)。

实验验证

在Set12数据集和医学/天文图像上的实验表明：

1. 1.
   步长规则对比：SS^*规则在σ²=5和σ²=10噪声水平下，PSNR最高提升2.1dB，SSIM提升0.04；
2. 2.
   动量加速效果：M-PSGP较SGP^*（无动量版本）迭代次数减少37%，且GM变体（s=1/(1-η))在η=0.2时收敛最快；
3. 3.
   横向对比：在200次迭代内，M-PSGP的RRE（相对重构误差）曲线较TwIST、FISTA等算法下降更陡峭，最终PSNR均值达28.7dB，优于IOptISTA的27.9dB。视觉结果中，星云图像（NGC7027）的纤维结构重建更清晰，医学CT（OASIS）的软组织边缘伪影显著减少。

结论与展望

M-PSGP算法通过步长选择与动量加速的协同设计，为l₁正则化问题提供了高效求解方案。未来工作将拓展至非凸正则化项（如SCAD）和分布式优化场景，进一步探索在动态MRI重建和荧光显微成像中的应用潜力。