综述：重新审视超限元：统一IGA、SEM、NEFEM、p-FEM和h-FEM的单元公式

《ARCHIVES OF COMPUTATIONAL METHODS IN ENGINEERING》：Revisiting Transfinite Elements: Unifying Element Formulations for IGA, SEM, NEFEM, p-FEM and h-FEM

这篇综述系统回顾了基于Coons和Gordon提出的超限插值技术的有限元方法，旨在重新激发对这一强大但未获广泛采纳的单元类型的兴趣。文章详细阐述了超限元如何作为统一框架，将等几何分析（IGA）、谱元法（SEM）、NURBS增强有限元（NEFEM）、p型有限元（p-FEM）和h型有限元（h-FEM）等流行方法纳入其特殊情形。作者们强调了超限元在构建多边形单元（Polytope elements）、过渡单元（Transition elements）以及通过混合函数法（Blending Function Method）实现精确几何表示方面的独特优势，并分析了其历史上因数学复杂性和工业保密而未被广泛接受的原因，为计算力学领域的研究者提供了宝贵的见解和未来研究方向。

　　

引言

有限元法（FEM）是求解偏微分方程（PDEs）描述的初边值问题（IBVPs）的数值技术，广泛应用于工程和科学领域。其早期模型基于将结构细分为三角形或四边形单元，并采用等参元概念，即几何和场近似使用相同的基函数。随着计算能力的提升，使用高阶多项式近似的思想逐渐受到重视，从而催生了p版本有限元法（p-FEM），即通过提升单元内形函数的多项式次数（p-refinement）来提高精度，而非单纯减小单元尺寸（h-refinement）。

谱有限元法（SFEM）则使用具有优异数学性质的正交多项式（如Legendre多项式）作为基函数，特别适用于光滑解问题。其中，时域谱元法（SEM）由Patera于1984年提出，在计算固体力学和流体动力学（CFD）中表现出色。

超限元（Transfinite elements）是上述高阶单元方法的替代方案。根据Gordon和Hall的论述，超限插值是一种利用边界数据构建从参考域到物理域光滑映射的技术。它通过结合沿域边的插值函数和额外的混合函数来强制内部平滑过渡，从而确保整个域内的连续性。超限元非常灵活，它利用超限插值概念来构造形函数，与h版本和p版本FEM相关，允许自适应选择单元内节点的数量和分布。历史上，p版本FEM的发展与FEM的广泛演变紧密相连，而超限元概念是这一演变的一部分，有助于提高有限元模型的适应性和灵活性。

Coons-Patch宏元

Coons-Patch宏元（CPM），或称仅边界超限宏元，指的是覆盖曲线四边形片的大型有限元，其中应用了Coons插值公式。几何^x(ξ,η)和物理量^u(ξ,η)均通过相同的函数集进行近似，这与等参有限元的原理相同。

其插值可以写为布尔和的形式：^x(ξ,η) = ^P_ξ{x} + ^P_η{x} - ^P_ξη{x}。其中，^P_ξ和^P_η分别是ξ和η方向的投影器，^P_ξη是修正项。混合函数^E₀(ξ/η)和^E₁(ξ/η)通常是线性的：^E₀(r)=1-r, ^E₁(r)=r，其中r∈{ξ,η}。PDE的解^u(ξ,η)也可以用相同的等参公式近似。

CPM的双变量（全局）形函数^N_k(ξ,η)依赖于两组函数：(i) 混合函数^E_i，(ii) 单变量试函数^B_j，后者用于插值每条边上的几何和物理量。试函数可以选择为分段线性函数、Lagrange多项式或基数自然三次B样条等。研究表明，使用Lagrange多项式收敛最快，基数自然三次B样条次之，分段线性近似灵活性最高但精度最低。值得注意的是，著名的Serendipity型四边形有限元（双线性4节点、双二次8节点等）可以直接通过应用Coons公式，结合线性混合函数和沿四条边的线性、二次、三次等插值多项式产生。

对于数值积分，需要将物理域A变换到参数域(ξ,η)。积分核^I(ξ,η)是双变量函数，其最高多项式次数决定了所需的高斯积分点数。例如，当试函数为三次B样条时，对于曲边CPM，精确的高斯求积法则可能需要达到6×6阶。然而，大量算例表明，即使采用较低阶的求积方案（如2×2）也能获得可接受的结果。

CPM的概念可以扩展到三维问题。对于三维体积块ABCDEFGH，超限插值公式涉及更多的投影器，包括与六个面相关的^P_ξ, ^P_η, ^P_ζ，与十二条边相关的^P_ξη, ^P_ηζ, ^P_ζξ，以及与八个角点相关的^P_ξηζ。最终的插值由这些投影器的布尔和给出：^u(ξ,η,ζ) = ^P_f{u} - ^P_e{u} + ^P_c{u}。由此可以推导出仅包含边界节点或同时包含边界和面内部节点的三维超限元的形函数。

Gordon-Patch宏元

Gordon-Patch宏元（GPM）或超限宏元是通过引入内部节点来提高几何表示和数值解精度的元素。这些单元内部的节点以结构化方式沿水平和垂直线（称为站线）排列。GPM在1970年代变得流行，因为它们可以减少计算机内存需求，易于处理对边上的不同离散化，并能构建复杂的过渡单元以连接不同的片。

GPM的形函数构造与CPM类似，但混合函数和试函数可能采用更高阶的多项式（如Lagrange多项式）。当内部节点与边界节点形成张量积结构时，超限插值公式会退化为传统的张量积形式，即Lagrange型单元。此时，布尔和（^P_ξ + ^P_η - ^P_ξη）等于任何一个投影器，例如^P_ξη。这表明Lagrange型单元是超限元的一个特例。

为了统一表示不同类型的超限元，引入了^C_ij族元素的概念。其中，第一索引i表示试函数^B_i的类型，第二索引j表示混合函数^E_j的类型。例如，i或j为1代表分段线性函数，2代表基数自然三次B样条，3代表Lagrange多项式。该符号体系可以扩展以包含Bernstein多项式（i=4）、de Boor B样条（i=5）、NURBS（i=6）等。索引j=0则表示无内部节点的边界仅（CPM）公式。这种统一的观点表明，超限元框架可以涵盖多种常见的单元类型。

过渡单元

超限元的一个强大应用是构建过渡单元，用于耦合不同家族或不同尺寸的网格。例如，通过消除双二次Lagrange单元边界上的中间节点，并施加相应的约束，可以产生一个T型接头单元，该单元允许沿耦合边进行线性变化，从而约束了近似空间。另一种策略是直接利用超限插值公式来定义过渡单元，两种方法被证明是等价的。

更一般地，pNh-element和xNy-element概念被提出用于耦合任意元素类型x与N个类型y的元素。这可以通过利用超限插值技术轻松实现。这种方法在弹性静力学和动力学问题中显示出优异的收敛性。然而，对于显式动力学，过渡单元的质量集中（lumped mass）策略仍是一个挑战，因为常用的HRZ方法（对角缩放）会导致次优收敛。因此，通常需要使用一致质量矩阵或开发更复杂的质量集中方法。

超限插值概念也可以与NURBS和Bernstein多项式结合，用于构建灵活的T型超限NURBS单元。这些单元的基函数是局部张量积，并满足单位分解（Partition of Unity, PU）性质。这表明，等几何分析（IGA）和T样条的某些方面可以被视为超限插值的特殊情况。

精确几何表示

精确的几何近似对于在粗网格上使用高阶数值离散格式或在细网格上使用低阶近似都至关重要。超限插值概念为此提供了两种主要方法：混合函数法（Blending Function Method）和NURBS增强有限元（NURBS-Enhanced Finite Element Method, NEFEM）。

混合函数法主要用于p版本FEM中。它基于超限插值概念，仅使用线性混合函数来精确描述计算域的边界，从而实现超参元（super-parametric element）公式，旨在平衡几何误差和离散化误差。这种方法的好处在于，当考虑精确几何表示时，即使与同时提升解和几何近似次数的等参元相比，也能观察到改进。

NEFEM则采用不同的思路。它基于边界表示（B-rep）几何描述，仅对位于计算域边界的单元使用精确的NURBS/CAD边界描述，而解则使用在物理空间（笛卡尔坐标）中定义的分段多项式插值来近似。这意味着只有边界单元需要特殊处理，内部单元仍可使用标准有限元算法，保持了经典有限元技术的计算效率。NEFEM的主要优势包括消除了几何误差，并允许使用比CAD模型中最小几何特征大得多的单元，从而在显式时间推进算法中缓解时间步长的限制。

研究表明，NEFEM在泊松方程、电磁散射问题、非线性欧拉方程、Stokes流、线性弹性等问题上，其数值误差比传统等参元低近一个数量级，并且在p扩展中表现出指数收敛。

总结与展望

本文综述了超限插值技术在不同方面的应用，包括单元公式、非匹配网格耦合以及精确边界表示。分析表明，超限元可以作为一个统一的框架来解释许多传统的有限元，包括低阶h版本Serendipity元、高阶p版本元、Lagrange型高阶元、谱元、NURBS增强有限元和等几何元。

超限元的混合函数可以从Lagrange多项式扩展到任何其他满足单位分解性质的完备函数基。通过这种方式，可以在张量积B样条、NURBS（IGA）单元和超限投影算子之间建立联系。

超限元在制定各种边/面上具有不同形函数类型的过渡单元方面展现出强大的灵活性，是耦合由不同单元家族和尺寸要求组成的异质网格区域的重要应用领域。

除了作为推导单元公式的工具，超限插值还可用于将CAD数据提供的精确几何表示融入数值分析。这在需要光滑几何以获得准确结果的各种应用中具有优势。

未来的研究建议重点关注不同网格域的耦合，例如实体元与结构（梁、板、壳）元的耦合，其中如果结构有限元选择C¹连续公式，则存在处理旋转自由度的问题。另一个开放性问题涉及显式动力学，目前尚缺乏一种既能保持高阶收敛（精度）又能保证质量矩阵正定性的通用质量集中方案。最后，超限元作为多边形单元（Polytope elements）的应用潜力，以及允许的单元形状（如任意凹域）的界限，仍有待进一步探索。

希望这篇关于一个未被充分认识的强大概念——“超限插值”的全面综述，能够激发新的发展并鼓励研究者尝试这种单元公式。