连续变量系统量子态层析的极端低效性与高效学习算法研究

《Nature Physics》：Learning quantum states of continuous-variable systems

本文针对连续变量(CV)系统量子态层析的资源消耗问题展开研究，首次建立了能量约束条件下CV量子态层析的样本复杂度下界。研究发现CV系统层析存在"极端低效性"现象——所需样本数随模式数n呈指数增长(ε-2n)，远高于有限维系统的ε-2标度。然而，研究同时证明高斯态和t掺杂高斯态的层析在特定条件下是高效的，为量子光学实验提供了可行的层析方案。

　　

在量子力学领域，如何通过实验测量来完整描述一个未知量子态，这一被称为"量子态层析"的基础问题一直困扰着研究者。就像医生通过CT扫描重建人体内部结构一样，物理学家希望通过量子测量来重建量子态的全貌。然而，量子测量的概率本性使得这一任务变得异常复杂——每次测量只能获取部分信息，需要综合多种不同类型的测量结果才能拼凑出完整的量子态图像。

对于有限维量子系统（如量子比特），态层析的理论框架已相对成熟。但面对连续变量系统——这种在量子光学和玻色子系统中广泛存在的无限维系统，态层析问题却长期笼罩在迷雾之中。传统方法基于相空间函数的近似，缺乏具有操作意义的误差保证，使得研究人员难以评估层析结果的可靠性。随着光子量子设备在量子计算、通信和传感等领域的广泛应用，解决CV系统态层析的基本极限问题变得尤为迫切。

研究团队发现，问题的关键在于现实世界中的量子态都受到能量约束。无论是实验室制备的光子态还是自然界存在的量子态，其能量都是有限的。这一看似简单的观察却从根本上改变了问题的性质——在能量约束下，无限维的CV系统可以被有效地近似为有限维系统。通过引入能量约束E，团队首次建立了CV系统量子态层析的严格理论框架。

令人惊讶的是，研究结果揭示了一个被称为"极端低效性"的现象：即使对于能量约束的纯态，层析所需的最小样本数也必须以ε^-2n的速度增长，其中n是模式数，ε是迹距离误差。这与有限维系统中ε^-2的温和标度形成了鲜明对比。团队通过一个生动的例子说明了这种差异的严重性：在误差ε=10%的条件下，十个量子比特纯态的层析仅需约0.1毫秒，而十个模式（每个模式平均光子数≤1）的层析至少需要3000年！

然而，故事并没有结束。研究团队证明，对于高斯态——这种在量子光学实验室中最常见的态，层析变得高效。关键在于，高斯态完全由其一阶矩和协方差矩阵决定。团队建立了高斯态迹距离与其矩估计误差之间的严格界限，证明当矩的估计误差为ε时，态估计的迹距离误差最多为O(√ε)。基于这一关键洞见，他们设计了一个样本复杂度为poly(n)的高斯态层析算法。

更令人振奋的是，团队还研究了介于高斯态和完全非高斯态之间的t掺杂高斯态——即通过高斯酉操作和最多t个非高斯局域操作制备的态。他们证明这类态的非高斯性可以被"压缩"到O(t)个模式中，从而在t较小时实现高效层析。这一结果为处理实际实验中常见的近似高斯态提供了理论依据。

关键技术方法

研究采用量子学习理论框架，通过能量约束将无限维CV系统转化为有效有限维系统。利用矩约束技术和投影测量方法，结合Gentle测量引理和Schur-Horn定理分析有效维数与秩。针对高斯态，建立迹距离与矩误差的严格界限，采用相空间测量技术估计一阶矩和协方差矩阵。对t掺杂高斯态，运用非高斯性压缩技术和局域高斯酉操作进行降维处理。

能量约束态的有效近似

研究团队证明，在能量约束E下，任何n模CV态都可以被有限维态以迹距离ε近似。具体而言，近似态的维数D=O((eE)ⁿ/ε²ⁿ)，有效秩r=O((eE)ⁿ/εⁿ)。这一发现将无限维问题转化为可处理的有限维问题，为设计层析算法奠定了基础。通过构造投影测量和利用Gentle测量引理，团队实现了从无限维到有限维的有效转换。

极端低效性现象

对于能量约束纯态，层析的样本复杂度被证明是Θ(Eⁿ/ε²ⁿ)。这意味着即使是最优算法，也需要指数级数量的样本来达到给定的精度要求。对于混合态，样本复杂度的上界为O(E²ⁿ/ε³ⁿ)，下界为Ω(E²ⁿ/ε²ⁿ)。这种对误差参数的指数依赖性正是CV系统层析极端低效性的本质体现。

高斯态层析的高效性

研究团队建立了高斯态迹距离与其矩估计误差之间的严格关系。Theorem 10表明，在能量约束N下，两个高斯态的迹距离上界为f(N)(||m₁-m₂||+√2√||V₁-V₂||₁)，其中f(N)=1/√2(√N+√N+1)。基于这一结果，团队设计了样本复杂度为O(n⁷E⁴/ε⁴)的高斯态层析算法，证明高斯态层析是高效的。

t掺杂高斯态的可压缩性

Theorem 5给出了t掺杂高斯态的关键分解：任何n模t掺杂高斯态都可以通过高斯酉操作表示为|ψ?=G(|φ_κt??|0?^?(n-κt))，其中非高斯性被压缩到前κt个模式中。这一分解使得团队能够设计高效的层析算法：先估计高斯部分G，然后对压缩后的非高斯部分进行全态层析。Theorem 6证明，当κt=O(1)时，t掺杂高斯态的层析是高效的。

研究结论与意义

本工作在量子学习理论与连续变量量子信息之间架起了重要桥梁。研究首次完整刻画了CV系统量子态层析的终极性能极限，揭示了能量约束条件下存在的"极端低效性"现象。这一发现不仅深化了我们对无限维系统学习复杂性的理解，也为量子光学实验提供了实用的指导原则。

高斯态层析的高效性证明为实际应用带来了希望。在大多数量子光学实验中，制备的态往往近似高斯或仅包含少量非高斯操作。研究结果表明，这类态的层析在实验上是可行的，为量子设备表征和验证提供了实用工具。建立的迹距离界限技术本身也是独立的贡献，将在CV量子信息处理中发挥重要作用。

t掺杂高斯态的可压缩性分解揭示了一个深刻的结构性质：非高斯性在CV系统中可以被局部化压缩。这一发现与稳定子态和费米子系统中的类似结果形成了有趣的平行关系，暗示着不同量子系统背后可能存在统一的学习理论框架。

dtr(ρ,ρ~), which is most meaningful notion of distance between states 9,10.Second, as quantum measurements yield probabilistic outcomes, the output ρ~is probabilistic rather than deterministic. Therefore, a'good approximation'means that the probability of getting a small trace-distance error is high. This is expressed as Pr[dtr(ρ,ρ~)≤ε]≥1?δ, where εis the trace-distance error and δis the failure probability. To measure the performance of tomography, one can define the sample complexity. For fixed εand δ, the sample complexity is the minimum number of copies N required to achieve tomography with trace-distance error εand failure probability δ. For example, the sample complexity in the tomography of arbitrary n-qubit states is O((4n/ε2)log(1/δ))(refs. 1,12-14).In general, the sample complexity in any tomography task depends at most logarithmically on the failure probability δ(ref. 51), implying that this parameter has a minimal impact on performance. In other words, the failure probability δcan be made very small with only a slight increase in the sample complexity.Therefore, throughout this work, we omit the dependence on δ.'>

这项工作对量子技术发展具有深远影响。随着光子量子设备在量子计算、通信和传感等领域的广泛应用，对CV系统进行准确表征的需求日益增长。研究结果不仅为实验设计提供了理论依据——帮助研究者合理规划资源投入，也为开发更高效的层析协议指明了方向。特别是对于近期展示量子优势的光子实验，如玻色采样和量子模拟，本研究为这些平台的态表征提供了关键理论基础。