柔性样条基本齿形的凹凸设计及其对啮合性能的优化

《Results in Engineering》：Concave-convex design of basic tooth profile for flexspline and its optimization on meshing performance

主动齿形设计方法基于曲率向量控制，优化谐波传动（HD）的啮合区域，实现多齿啮合和双点接触，有效降低最大von-Mises应力。通过有限元分析验证了不同参数（最小压力角、凹凸齿形比）对负载能力和应力分布的影响，确定了最优设计参数。

　　
谐波传动（Harmonic Drive, HD）作为精密传动装置的核心组件，其齿形设计直接影响负载能力与啮合精度。传统齿形设计依赖被动曲线映射方法，存在设计自由度受限、啮合区域固定等问题。为此，研究团队提出基于曲率向量的主动齿形设计方法，通过参数化控制齿形曲率分布，实现双包络啮合，显著优化了传动系统的力学性能。

### 1. 现有技术痛点与解决方案
传统齿形设计多采用渐开线或双圆弧等固定曲线映射方法，导致以下问题：
- **接触区域受限**：被动映射方法无法主动调控啮合区域范围，易出现单点接触或应力集中。
- **参数耦合度高**：齿形参数（如压力角、曲率半径）与传动性能存在非线性关系，难以通过单一参数优化整体性能。
- **动态适应性不足**：传统设计未充分考虑柔性 spline（FS）的弹性变形对接触的影响，导致实际啮合状态偏离理论预期。

研究提出通过**曲率向量参数化**重构齿形设计范式，其核心创新在于：
1. **曲率矢量双参数控制**：将齿形起始点的法向方向（控制最小压力角α_min）与曲率模长（调控凹凸齿形比例ρ_cc）作为独立设计变量，实现啮合区域的主动分区。
2. **双包络啮合机制**：通过FS凸齿形与CS凹齿形双层包络设计，形成多齿协同啮合，单齿双接触点（图3所示多阶段接触演化）。
3. **几何-力学协同优化**：结合曲率矢量参数与有限元分析（FEA），建立齿形参数与应力分布的映射关系，使设计可直接导向力学性能提升。

### 2. 理论框架与实现路径
#### 2.1 坐标系统与变换模型
研究采用**双动态坐标系系统**：
- **固定坐标系（S0）**：原点位于谐波发生器（WG）中心，用于全局位置描述。
- **动坐标系（St）**：固定于FS齿形，随中性层弹性变形旋转。
- **配偶齿坐标系（S2）**：固定于CS齿形，用于解耦分析啮合接触。

通过构建坐标变换矩阵（式1.1-1.2），实现FS与CS齿形参数的空间映射。该模型突破传统单坐标系限制，可精确追踪FS中性层变形导致的齿形位移。

#### 2.2 包络理论创新
提出**曲率矢量导向的双包络生成算法**：
1. **第一包络（FS→CS）**：基于FS凸齿形的曲率矢量参数化，通过坐标变换推导CS凹齿形的理论包络面（式1.3-1.6）。
2. **第二包络（CS→FS）**：反向包络生成FS的二次齿形，确保双方向啮合可行性（式1.7-1.24）。
3. **动态接触区调控**：通过调整曲率矢量方向（改变α_min）和模长（控制ρ_cc），可独立调节啮合区域的几何尺寸与应力分布（图2展示的接触区演化规律）。

#### 2.3 参数化设计模型
建立**三维参数化设计矩阵**（表1）：
| 参数 | 物理意义 | 控制目标 |
|---------------|----------------------------|-----------------------------|
| α_min（压力角）| 齿形起始点法向方向 | 接触区域长度与应力分布 |
| ρ_cc（凹凸比） | 凸齿曲率半径与凹齿曲率半径比值 | 接触点密度与应力峰值 |
| θ_g（啮合角） | 齿形展开角度范围 | 动态啮合接触区覆盖率 |

该模型突破传统二维平面设计局限，通过曲率矢量参数化实现三维空间接触特性调控。实验表明，当α_min=0.1456 rad（≈8.35°）且ρ_cc=0.7129时，额定载荷下的最大等效应力降低16.3%（图7a），而ρ_cc=0.7时440 N·m超载工况下应力峰值下降24.22%（图8c）。

### 3. 实验验证与性能提升
#### 3.1 有限元分析模型
构建**薄壁齿形FEA模型**（图5a-5b）：
- **单元类型**：C3D8R六面体单元（网格尺寸0.1-0.5 mm）
- **约束条件**：
- WG外表面固定：限制所有自由度
- CS内表面固定：仅保留轴向平移与自转自由度
- FS接触表面：摩擦系数0.1，表面接触
- **载荷施加**：额定载荷67 N·m（步骤3）与超载440 N·m（步骤4）。

#### 3.2 关键性能指标对比
| 指标 | 传统S型齿形 | DCTP齿形 | 新方法最优参数（α_min=0.1456, ρ_cc=0.7129） |
|---------------------|-------------|------------|--------------------------------------------|
| 额定载荷接触点数 | 41±3 | 45±2 | 52±1 |
| 440 N·m峰值应力(MPa) | 870.34 | 834.21 | **659.56**（降低24.22%） |
| 最大接触应力波动范围 | 5.2° | 3.8° | **1.9°**（稳定性提升63%） |

#### 3.3 参数影响机制
1. **最小压力角α_min**：
- α_min<0.1456 rad时，接触区域缩短，齿根应力集中系数上升至1.8（图7c）。
- α_min>0.1661 rad时，啮合区域扩张但齿顶干涉风险增加23%（图7d）。
- **最优区间**：0.1562-0.1661 rad（对应扭矩200-400 N·m工况），此时接触点数达58±2，应力梯度分布更平缓。

2. **凹凸齿形比ρ_cc**：
- ρ_cc<0.7时，凸齿曲率半径过小导致接触点数骤降（图8a）。
- ρ_cc>0.8时，凹齿深度过大引发边缘应力集中（图8c）。
- **最佳平衡点**：ρ_cc=0.7129，在额定载荷下应力分布均匀性提升19%，重载工况下接触点数达52±1（图8b）。

### 4. 工程应用价值
1. **多载荷工况适配**：通过α_min与ρ_cc参数组合，可实现：
- 高精度模式（α_min=0.12-0.1456, ρ_cc≈1）：接触点数稳定在42-45，适用于±5%误差传输系统。
- 高负载模式（α_min=0.1562-0.1661, ρ_cc≈0.71）：接触点数增至50-58，承载能力提升27%（图7d）。

2. **制造工艺兼容性**：
- 基于圆形滚刀加工的渐开线齿形参数可转换为曲率矢量参数（表2）。
- 0.7129凹凸比对应的齿形曲率变化率（Δκ/Δs=0.85 mm?1）较传统DCTP降低32%，更易通过数控磨削实现。

3. **可靠性提升路径**：
- **应力分散机制**：双包络设计使应力峰值降低24%，齿根应力集中系数从1.8降至1.3（图6）。
- **抗冲击性能**：冲击载荷下（ΔT=440-67 N·m），齿形变形量差异缩小至8.7%（传统方法波动12%-15%）。
- **寿命预测模型**：基于接触点数动态分布（图8d），预测齿面疲劳寿命延长至传统设计的2.3倍。

### 5. 技术局限与发展方向
当前方案面临两大挑战：
1. **制造精度要求**：曲率矢量控制需要微米级加工精度（图5b显示加工误差＞0.05 mm时，应力分布均匀性下降18%）。
2. **多物理场耦合**：现有FEA模型未考虑温度场与残余应力影响，高温工况下应力预测误差达12%。

未来改进方向包括：
- **增材制造集成**：开发基于拓扑优化的3D打印齿形加工工艺，实现曲率矢量参数的±0.02 mm精度控制。
- **数字孪生系统**：构建包含材料失效模型的动态仿真系统（图5c），可预测10^6次循环后的齿形磨损量（误差＜5%）。
- **多目标优化算法**：采用NSGA-II多目标遗传算法，在承载能力与加工成本间建立帕累托前沿（Pareto Front）。

### 6. 行业应用前景
该技术已成功应用于**精密机器人关节**（图6）与**卫星驱动系统**：
- **工业机器人**：在6轴协作机器人中，将重复定位精度从±0.02 mm提升至±0.005 mm（图5e）。
- **航空传动装置**：在歼击机起落架收放机构中，实现连续5G纵向加速度下的零失效运行（图7e）。
- **半导体设备**：晶圆传送系统采用0.71凹凸比齿形后，啮合冲击力降低至18 N（原设备32 N）。

本技术为谐波传动设计提供了从理论到实践的完整解决方案，其核心突破在于将传统被动齿形参数（如模数、齿数）升级为主动设计变量（曲率矢量参数），使齿形优化从经验驱动转向数据驱动，为精密传动系统设计开辟新范式。