具有均值和方差约束的高斯信道的信道编码

《IEEE Transactions on Information Theory》：Channel Coding for Gaussian Channels With Mean and Variance Constraints

信道编码在高斯信道中考虑均值与方差约束，通过匹配逆定理和可达性界限，分析最优一阶和二阶性能。主要贡献是提出基于混合三个均匀分布球体随机码字的可达性方案，证明其对数比例界为O(log n)，并应用中心极限定理分析独立同分布输入下的输出分布差异。

　　

摘要：

我们考虑在高斯信道上的信道编码问题，并引入了最近提出的均值和方差成本约束。通过匹配逆向界限和可实现性界限，我们描述了最优的一阶和二阶性能。本文的主要技术贡献是一种可实现性方案，该方案使用从三个均匀分布混合中抽取的随机码字。这三个均匀分布分别位于半径为 $ R_1 $、$ R_2 $ 和 $ R_3 $ 的球面上，其中 $ R_i = O(n^{-\sqrt{R}} $。为了分析这种混合分布，我们证明了一个引理，该引理给出了一个统一的 $ O(\log n) $ 界限，该界限以高概率成立，用于输出分布 $ Q_c(c_i) $ 和 $ Q_c(c_j) $ 的对数比值。其中 $ Q_c(c_i) $ 是由在半径为 $ R_i $ 的球面上均匀分布的随机信道输入所诱导的分布。为了便于应用中心极限定理，我们还给出了一个统一的 $ O(\log n) $ 界限，该界限同样以高概率成立，用于输出分布 $ Q_c(c_i) $ 和 $ Q_c(*i) $ 的对数比值，其中 $ Q_c(*i) $ 是由具有独立同分布（i.i.d.）分量的随机信道输入所诱导的分布。

引言

信道编码中常见的两种成本（或功率）约束形式是：一种是由几乎必然事件指定的最大成本约束；另一种是由随机信道输入向量 $ X $ 引导的期望成本约束，$ c(X) $ 被定义为一个可加分解的成本函数。

c(X):=\sum_{i=1}^{n} c(X_i)