基于泰勒级数的均匀线阵零点相减成像分辨率理论推导及其在超声成像中的意义

《IEEE Open Journal of Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control》：Taylor-Series-Based Derivation of the Resolution of Null Subtraction Imaging for a Uniform Linear Array

本文针对零点相减成像（NSI）这一非线性波束形成技术，其虽能提升超声图像空间分辨率但缺乏明确分辨率与关键参数（如直流偏移值c、阵列孔径、波长）的理论关系的问题，研究人员通过推导NSI的阵列模式理论，并利用泰勒级数展开近似得到了-6 dB主瓣宽度的解析表达式，揭示其与cλ/D成正比，且当c趋近无穷时接近传统延迟求和（DAS）的主瓣宽度。该工作为NSI的系统设计和性能直观理解提供了理论依据，对医学超声成像分辨率的优化具有重要意义。

　　

在医学超声成像领域，如何获得高分辨率的图像始终是一个核心挑战。传统的延迟求和（Delay-and-Sum, DAS）波束形成器虽然计算简单，但其性能存在一个固有的矛盾：为了抑制旁瓣水平，通常需要采用特定的孔径加权（apodization）函数，但这往往会牺牲主瓣的宽度，从而导致图像分辨率下降。自适应波束形成技术，如最小方差（Minimum Variance, MV）波束形成器，能够在一定程度上缓解这一矛盾，通过数据依赖的方式优化权重，实现更窄的主瓣和更低的旁瓣。然而，其高昂的计算成本——主要来自于空间协方差矩阵的构建和求逆——限制了其在实时成像系统中的广泛应用。因此，开发低复杂度且能保持良好分辨率和对比度的波束形成算法成为了一个重要的研究方向。

在众多低复杂度算法中，零点相减成像（Null Subtraction Imaging, NSI）近年来受到了广泛关注。NSI通过非相干地组合来自同一射频（RF）数据、但应用三种相关接收孔径加权的三个DAS输出，实现了窄主瓣和低旁瓣的效果。已有研究报道NSI在B模式成像、平面波成像、功率多普勒成像以及大阵元间距阵列中均展现出优势。例如，有实验表明NSI的-6 dB主瓣宽度可比传统DAS窄约100倍。尽管NSI表现优异，但其分辨率（通常用主瓣宽度衡量）与关键系统参数（如直流偏移值c、阵列孔径尺寸D、波长λ）之间的显式数学关系一直未被揭示，这给NSI的系统设计、参数选择以及对其性能的直观理解带来了困难。

为了解决这一问题，发表在《IEEE Open Journal of Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control》上的这项研究，首次对均匀线性阵列（Uniform Linear Array）的NSI阵列模式进行了理论推导，并给出了其-6 dB主瓣宽度的近似解析表达式。研究人员通过将NSI的基本孔径函数（零均值窗ZM、DC1窗和DC2窗）进行空间傅里叶变换，得到其阵列模式。为了简化分析，他们在主瓣区域对解析表达式进行了泰勒级数展开近似。最终，他们推导出NSI的主瓣宽度近似正比于cλ/D，这表明NSI与经典DAS具有相似的波长和孔径依赖性。同时，研究也通过数值计算验证了理论结果，并表明当c值趋近于无穷大时，NSI的主瓣宽度会收敛到DAS的主瓣宽度。

本研究为开展NSI分辨率分析所采用的关键技术方法主要包括：首先，基于均匀线阵模型和空间傅里叶变换，严格推导了NSI三种组成窗（零均值窗ZM、DC1窗、DC2窗）的阵列模式解析表达式；其次，利用泰勒级数展开对复杂的阵列模式表达式进行近似简化，聚焦于主瓣区域的分析；最后，通过设定阵列模式幅度等于主瓣峰值一半的条件，求解并得到了-6 dB主瓣全宽（FWHM）的近似公式，并利用数值模拟验证了理论推导的正确性以及近似公式的有效范围。

B. THE-6 dB MAINLOBE WIDTH

研究人员通过理论推导得出，NSI阵列模式在阵列法线方向（α=0）的幅值为cM。通过将阵列模式幅值设置为其峰值的一半（即cM/2），并求解对应的α值，他们得到了NSI的-6 dB主瓣全宽（FWHM）的近似表达式：FWHM_NSI(θ) ≈ (3cλ)/(πMd)。作为对比，传统DAS的-6 dB主瓣宽度为1.2λ/(Md)。这一结果表明，NSI的主瓣宽度直接受到直流偏移c的控制，并且其与波长和孔径的依赖关系与DAS相似。研究还指出，当c值增大到2π/5时，近似得到的NSI主瓣宽度会与DAS的相等，而当c趋近于无穷大时，精确的NSI主瓣宽度会收敛于DAS的主瓣宽度，这为NSI的性能设定了一个理论上限。

IV. RESULTS

数值结果验证了理论推导。图2比较了不同c值下，根据精确公式计算得到的NSI阵列模式与泰勒近似表达式。结果显示，在c值通常小于0.5的实用范围内，泰勒近似能很好地描述主瓣区域的特征，尽管近似值总是略大于精确值。同时，精确的NSI主瓣宽度始终小于DAS的主瓣宽度。图3进一步展示了NSI主瓣FWHM随c值变化的关系。可以看出，精确的FWHM总是小于近似值，并且随着c值的增大，NSI的FWHM逐渐接近并最终收敛于DAS的FWHM。当c > 0.3时，泰勒近似开始出现明显偏差。

V. DISCUSSION AND CONCLUSION

本研究通过空间傅里叶变换和一阶泰勒展开，成功推导出了NSI阵列模式的近似表达式及其-6 dB主瓣宽度（FWHM）。尽管NSI本身是非线性波束形成技术，但其窄主瓣特性是该方法的核心优势之一。本研究首次提供了描述这一特性与阵列参数之间关系的简明方程，填补了NSI理论分析的空白。数值比较表明，该近似在常用的c < 0.3范围内具有很好的准确性；在0.3 < c < 2π/5的范围内，该近似可作为NSI主瓣宽度的上界；而当c→∞时，NSI的主瓣宽度收敛于DAS的主瓣宽度，这为NSI的性能提供了绝对的上界。这项工作的意义在于为NSI波束形成器的设计和参数优化提供了理论指导，使得研究人员能够更直观地理解c等参数对最终图像分辨率的影响。未来的研究方向可能包括通过引入更高阶的泰勒展开项或调整展开中心来进一步优化近似精度，并推导NSI的其他特性。