最小尺寸二维源的天线方向图掩模约束综合：理论与应用突破

《IEEE Open Journal of Antennas and Propagation》：Minimal-Size 2-D Sources for Mask-Constrained Synthesis of Shaped Patterns

本刊编辑推荐：针对二维掩模约束成形波束功率方向图综合这一长期未解决的难题，研究人员开展了一项关于最小尺寸源（包括平面阵列和连续孔径）的确定性综合方法研究。该方法基于凸规划（Convex Programming）和多项式分解（Polynomial Factorization），能够处理完全任意的功率方向图上下界约束，首次实现了无需全局优化算法即可获得全局最优解，并证明了所设计源尺寸的最小性。结果表明，相较于现有设计，该方法能显著减少阵列单元数量，并在包含互耦效应的全波仿真中验证了其有效性，为天线设计领域提供了强有力的新工具。

　　

在电磁工程领域，如何设计天线或阵列使其辐射的功率方向图（Power Pattern）符合特定的形状要求，是一个基础且至关重要的课题，其应用遍及卫星通信、雷达探测乃至生物医疗等多个方面。传统的“场综合”（Field Synthesis）方法要求同时控制场的幅度和相位，这有时会带来不必要的约束。相比之下，“功率综合”（Power Synthesis）仅关注功率密度，提供了更大的设计自由度。更进一步，“掩模约束”（Mask-Constrained）的功率综合方法，即要求功率方向图落在预设的上下界之内，比瞄准单一标称方向图更具灵活性。然而，这一问题的求解却异常困难，因为功率方向图与源分布之间是非线性关系，且下界约束的引入导致了问题的非凸性（Non-Convexity）。

对于一维（1-D）源，例如直线阵列，该问题已通过谱分解（Spectral Factorization, SF）技术得到完美解决。该方法将问题转化为求解线性规划（Linear Programming, LP）问题，继而进行多项式分解，能够高效地确定满足掩模要求所需的最小阵列规模，并找出所有可行的激励分布。然而，对于更为普遍的二维（2-D）源，例如平面阵列或圆形孔径，情况发生了根本性变化。由于二维多项式通常不可分解（Non-Factorable），基于分解的一维方法失效，使得二维掩模约束功率方向图综合成为一个长期悬而未决的挑战。现有方法或受限于对波束形状的强假设，或计算成本高昂难以应用于大规模阵列，或只能得到次优解。

发表在《IEEE Open Journal of Antennas and Propagation》上的这项研究，成功填补了这一空白。研究团队为平面栅格阵列和圆形支撑连续孔径源，提出了一种全新的确定性综合框架，旨在解决两个核心问题：对于给定的功率方向图掩模，确定所需的最小源尺寸并合成该源；或者，对于固定尺寸的源，优化其能达到的最佳性能指标。本文重点阐述了前者。

为了攻克这一难题，研究人员巧妙地设计了一套包含三个核心步骤的流程。首先，通过求解一个凸优化问题（具体为线性规划）来确定满足掩模约束的最小源尺寸（对于阵列，即最小单元数N_min和M_min；对于连续孔径，即最小半径a_min）以及对应的最优功率方向图分布P(u, v)。这一步确保了问题的可行性。接着，将寻找与P(u, v)对应的复场E_ref(u, v)（即满足|E_ref(u, v)|² = P(u, v)）的过程转化为一个二维相位恢复（Phase Retrieval）问题。他们借鉴了其在二维带限函数相位恢复方面的最新进展，通过将谱平面分割成蜂窝状结构，将全局问题转化为一系列一维子问题，并利用谱分解技术求解，最终通过子问题解的一致性来构造出二维复场。最后，通过求解另一个凸优化问题，来寻找阵列的复激励{I_n,m}，使得重建的场E_rec(u, v)在成形波束区域Ω内尽可能接近E_ref(u, v)，并在区域外满足上界约束。该方法的关键创新在于，它完全避免了非凸的全局优化，仅依赖于凸规划和多项式分解，从而保证了解的全局最优性，并能处理任意形状的波束足迹（Footprint）。

研究结果部分通过多个具有代表性的算例，充分展示了该方法的强大能力。第一个算例复现了文献中覆盖中国版图形状的波束综合问题。该方法确定的最小阵列规模为16×16（256个单元），并成功合成了完全满足苛刻掩模（旁瓣电平-27.9 dB，成形区波纹±0.7 dB）的方向图。与文献中需要20×20（400个单元）的设计相比，单元数量减少了超过三分之一，且方向性（Directivity）与理想情况下的极限值非常接近。第二个算例针对一个具有分形“Fudgeflake”足迹的波束。研究展示了两种最小尺寸配置：一种为28×28（784单元）以最小化阵列对角线尺寸，另一种为24×32（768单元）以最小化总单元数。这两种方案均完全满足掩模要求，且其阵列布局远小于文献中采用的“锁孔”形阵列（2168单元），实现了孔径尺寸和单元数量的显著缩减。第三个算例则转向连续孔径，合成了一种用于中地球轨道（MEO）卫星的、具有非平坦顶（Isoflux）特性的非对称半球覆盖方向图。该方法成功确定了最小孔径半径a_min=6λ，并生成了符合复杂掩模的功率方向图。最后一个算例更是将该方法应用于由真实WR-90波导（考虑互耦效应）构成的14×14平面阵列，以合成一个“U”形波束。通过引入基于全波仿真获取的有源单元方向图（Active Element Patterns, AEPs），最终合成的方向图严格遵循了预设掩模，证明了该方法在真实、复杂天线系统中的应用潜力。

研究的结论部分强调，这项工作为解决二维成形波束的掩模约束功率综合这一经典问题提供了首个确定性且可证明全局最优的解决方案。该方法不仅能保证辐射指标被严格满足，而且能实现源尺寸的最小化，从而带来天线孔径和阵列单元数量的显著减少，有助于设计出更紧凑、经济、高效的天线解决方案。其核心优势在于能够处理完全任意的功率掩模和波束足迹，同时避免了超方向性（Superdirectivity）等不切实际的行为。此外，该框架具有很好的扩展性，可用于稀疏阵列（Sparse Arrays）或等激励（Isophoric）阵列的综合。所有数值实验均表明，传统的全局优化方法（如遗传算法、粒子群优化）无法处理该研究成功解决的高维问题，凸显了所提方法在计算效率和求解能力上的巨大优势。这项研究为天线设计领域树立了一个新的标杆，对未来高性能天线系统的发展具有重要意义。