基于Caputo导数的COVID-19与结核病共感染分数阶模型及住院干预分析

《Discover Public Health》：Fractional-order analysis of covid-19 and tuberculosis co-infection incorporating hospitalization via Caputo derivatives and Laplace Adomian

本文针对COVID-19与结核病(TB)共感染这一重大公共卫生挑战，提出了一种包含住院隔离的分数阶动力学模型。研究人员采用Caputo导数刻画疾病传播的记忆效应，通过拉普拉斯Adomian分解法(LADM)获得半解析解，揭示了住院率提升和分数阶效应对降低感染水平的显著作用。该研究为共感染控制策略提供了新的数学工具和理论依据。

　　

当COVID-19疫情全球肆虐之际，一个长期存在的健康威胁——结核病(TB)仍在许多地区持续流行。这两种呼吸道传染病的同时流行给公共卫生系统带来了严峻挑战，特别是在医疗资源有限的结核病高负担地区。患者同时感染两种疾病时往往面临更严重的临床症状和更高的死亡风险，而重叠的症状使得诊断更加困难。更令人担忧的是，COVID-19大流行对结核病的防控服务造成了严重干扰，可能导致结核病控制成果出现倒退。

传统的传染病模型通常使用整数阶微分方程，但这些模型难以准确捕捉生物系统中常见的记忆依赖性和长程时间相关性。为了解决这一局限性，Olayiwola和Oluwafemi在《Discover Public Health》上发表的研究工作中，开发了一种创新的分数阶数学模型，专门用于分析COVID-19和结核病共感染的复杂动力学行为。

研究人员构建了一个包含八个仓室的数学模型：易感者(S)、潜伏期结核病(L_T)、活动性结核病(I_T)、COVID-19暴露者(E_C)、COVID-19感染者(I_C)、共感染者(I_TC)、住院者(H)和康复者(R)。该模型首次将住院隔离作为独立的动力学环节纳入共感染分析框架，通过Caputo分数阶导数来刻画疾病传播过程中的记忆效应，从而增强了模型的生物真实性。

研究团队采用拉普拉斯Adomian分解法(LADM)这一半解析技术求解非线性分数阶微分方程组，避免了传统数值方法中的离散化和线性化处理。该方法将非线性项分解为Adomian多项式序列，通过拉普拉斯变换和逆变换逐步逼近方程组的解析解。理论分析方面，研究人员证明了模型解的正性、有界性以及存在唯一性，推导了基本再生数(R₀)的表达式，并进行了参数灵敏度分析以识别影响疾病传播的关键因素。

模型建立与分析方法上，研究首先基于Caputo分数阶导数构建了包含八个仓室的COVID-19与结核病共感染动力学模型；采用拉普拉斯Adomian分解法(LADM)进行半解析求解，通过Adomian多项式处理非线性项；理论分析了模型解的正性、有界性及存在唯一性；利用下一代矩阵法推导基本再生数(R₀)并开展灵敏度分析；最后通过数值模拟验证理论结果并探讨住院干预和分数阶阶数的影响。

模型的正定性和有界性分析表明，当初始条件为正时，所有仓室的解在整个时间域内保持非负，且总人口规模始终不超过Λ/μ，确保了模型的生物学合理性。

平衡点分析确定了系统存在疾病消除平衡点E₀=(Λ/μ,0,0,0,0,0,0,0)和地方病平衡点。通过Jacobian矩阵特征值分析，证明当R₀<1时疾病消除平衡点是局部渐近稳定的。

基本再生数R₀ 通过下一代矩阵方法推导得出，表达式为R₀=max(R_C,R_T)=β₂Λ/μ(μ+φ+π)+β₂Λφ/μ(μ+φ+π)(μ+δ_C+ψ+σ_C)，反映了COVID-19传播能力在共感染系统中的主导作用。

灵敏度分析结果显示，COVID-19传播率(β₂)和人口输入率(Λ)对R₀的影响最为显著，灵敏度指数接近1，而自然死亡率(μ)则呈现较大的负向影响(-1.057)。

拉普拉斯Adomian分解法求解过程通过将各仓室解表示为无穷级数形式，逐步迭代求得各阶近似解。以易感者仓室为例，S(t)=S₀+S₁+S₂+...，其中S₁=[Λ-(μ+λ_C+λ_T)ψ₁]t^θ/Γ(1+θ)，S₂则包含t^2θ项，体现了分数阶导数带来的记忆效应。

数值模拟结果显示，当分数阶阶数θ从1降低至0.8时，各感染仓室的解曲线表现出更为平缓的下降趋势，反映了记忆效应延长了感染持续时间。这一现象与实际流行病学观察相符，说明分数阶模型能更好地捕捉共感染疾病的长期动态特征。

住院率影响的模拟结果表明，提高结核病住院率(σ_T)、COVID-19住院率(σ_C)以及共感染住院率(σ_TC)均可显著降低感染峰值和总感染规模。当住院率提高50%时，活动性结核病患者数量可减少约30%，凸显了加强医疗资源配置对控制共感染传播的关键作用。

研究结论表明，基于Caputo导数的分数阶模型能更准确地描述COVID-19与结核病共感染的传播动力学，尤其是捕捉了传统整数阶模型无法体现的记忆效应。拉普拉斯Adomian分解法为求解此类复杂非线性分数阶系统提供了有效的半解析工具。参数灵敏度分析指出，控制COVID-19传播率是抑制共感染流行的最有效策略，而提高住院收治能力则是减轻疾病负担的切实可行干预手段。

这项研究的理论意义在于将分数阶微积分理论应用于共感染动力学建模，推动了传染病数学模型的发展。在实践层面，研究结果为公共卫生决策提供了量化依据，强调在结核病高负担地区应统筹加强COVID-19防控和结核病诊疗服务，通过提高住院救治能力有效降低共感染带来的健康风险。模型的局限性在于未考虑疫苗接种、药物耐药等因素，未来研究可进一步扩展模型以涵盖这些重要变量，提升模型的预测能力和实用价值。