基于广义线性混合回归模型的线性-环形回归新框架及其在环境生态统计中的应用

《Environmental and Ecological Statistics》：A linear-circular regression using a finite mixture of the generalized linear regression models

本研究针对线性预测变量与环形响应变量的回归问题，提出了一种基于广义线性混合模型（GLM）的有限混合回归框架。通过引入缠绕分布技术和期望最大化（EM）算法，解决了传统方法在处理复杂环形数据时的局限性。研究在风速方向和蓝滨螺运动模式等实际应用中表现出优越性能，为环境监测和生态学研究提供了新的分析工具。

　　

在大自然中，许多现象都呈现出周期性的规律——从候鸟的迁徙路线到地球磁极的位置变化，从风向的转变到动物活动的昼夜节律。这些数据有一个共同特点：它们都是在圆形尺度上测量的角度数据，0度和360度实际上是同一个点。传统的线性统计方法在处理这类数据时会遇到严重问题，比如计算20度和340度的平均值时，线性方法会得出180度的错误结果，而实际上正确的平均方向应该是0度。

这种环形数据的特殊性使得环境科学家、生态学家和气象学家面临严峻的分析挑战。在环境监测中，准确预测风向对空气质量预报和灾害预警至关重要；在生态学研究里，理解动物运动模式有助于保护生物多样性。然而，现有的环形回归方法大多基于较强的分布假设，或者缺乏灵活性，难以捕捉真实世界中复杂的环形数据模式。

正是在这样的背景下，来自埃及艾因夏姆斯大学和爱资哈尔大学的研究团队在《Environmental and Ecological Statistics》上发表了一项创新性研究，提出了一种基于广义线性模型混合的线性-环形回归框架。这项研究的核心思想相当巧妙：将观察到的环形数据视为未观察到的线性数据经过"缠绕"操作的结果。

想象一下将一条直线缠绕在圆筒上，直线上的每个点都对应圆筒上的一个点。正是基于这种直观的几何关系，研究人员建立了一个灵活的统计模型。该模型允许数据来自多个潜在的子群体，每个子群体可以通过不同的线性模型来描述，从而能够捕捉复杂的环形数据模式。

研究方法上，作者主要采用了缠绕分布技术将线性分布转换为环形分布，结合有限混合模型框架构建回归模型，利用期望最大化（EM）算法进行参数估计，并通过DBSCAN聚类算法进行参数初始化，同时采用B样条基函数处理非线性关系。

2 提出的框架

研究团队首先介绍了缠绕分布的基本原理。任何随机变量Y的概率密度函数f_Y(y)都可以通过模2π运算转换为环形随机变量：Θ = Y mod 2π。由于这种映射是多对一的，环形概率密度函数需要求和所有等价点的概率密度：f_Θ(θ) = ∑_z=-∞^∞ f_Y(θ + 2zπ)。

在线性-环形回归设置中，研究者假设观察到的环形响应Θ是未观察到的线性响应Y经过模运算的结果。他们进一步将模型表述为广义线性模型（GLM）的有限混合，通过链接函数g(μ) = B(x)′β将线性预测器与响应分布的平均参数连接起来。这种表述使模型能够灵活地捕捉预测变量与环形响应之间的复杂关系，包括非线性效应和潜在的子群体结构。

3 模型估计

参数估计采用了两阶段方法。首先，通过DBSCAN聚类算法对数据进行初始分割，识别潜在的缠绕指数。然后，使用期望最大化（EM）算法进行最大似然估计。E步计算后验概率φ_i,z，表示给定观测数据点i属于混合组分z的概率；M步通过最大化加权对数似然函数来更新回归系数β和散度参数φ。

为了提高模型选择的客观性，研究采用Akaike信息准则（AIC）来确定混合组分的适当数量，其中AIC = -2l_k + 2df_k，l_k是最大对数似然值，df_k = p + 2k + 1是自由度。

4 数值研究

研究通过四个数值例子全面评估了提出框架的性能：缠绕伽马混合模型（WGMM）、缠绕拉普拉斯混合模型（WLMM）、缠绕指数混合模型（WEMM）以及von Mises混合模型（VMMM）和缠绕正态混合模型（WNMM）。

在每个例子中，研究人员将他们的方法与投影线性模型和非参数平滑方法进行比较，使用平均圆形误差（MCE）作为评估指标：MCE = (1/n)∑_i=1ⁿ|sin((θ_i - ?_i)/2)|。

结果显示，提出的混合模型在大多数情况下优于传统方法。特别是在WGMM例子中，当浓度参数ρ=8时，WGMM的MCE为0.02590，显著低于投影正态模型的0.17802和非参数平滑模型的0.05292。

图1直观展示了WGMM在捕捉环形数据模式方面的优越性能，估计的均值函数与真实值几乎重合。

5 实际应用

5.1 风向数据集

研究将提出的框架应用于两个真实场景。首先分析的是2025年1月芝加哥中途机场收集的744小时风向测量数据。数据集被分为训练集（90%）和测试集（10%），使用五折交叉验证选择最优的B样条参数。

WEMMWGMMWLMMVMMMWNMM投影正态非参数平滑

0.138740.100970.100880.105620.099480.346510.13122

WNMM表现最佳（MCE=0.09948），其次是WLMM和WGMM。投影正态模型表现最差（MCE=0.34651），表明其可能不适合这种应用场景。

5.2 蓝滨螺运动数据集

第二个应用涉及31个蓝滨螺（Nodilittorina unifasciata）在实验迁移后的位移距离和转向角度观测数据。使用k均值算法进行分类，线性B样条基函数与均匀分布的节点进行建模。

WEMMWGMMWLMMVMMMWNMM投影正态非参数平滑

0.256420.255090.252030.253710.253960.289610.27122

WLMM表现最佳（MCE=0.25203），投影正态和非参数方法再次表现较差。

6 结论

该研究提出了一个灵活的线性-环形回归框架，通过结合缠绕分布技术和有限混合模型，显著扩展了环形数据分析的工具包。数值实验和实际应用表明，该框架在捕捉复杂环形数据模式方面优于传统方法，为环境科学、生态学和气象学等领域的环形数据分析提供了强有力的新工具。

研究的创新之处在于将环形回归问题转化为潜在线性响应的混合建模问题，从而能够利用成熟的广义线性模型理论和计算方法。同时，框架的灵活性使研究人员能够根据具体问题选择合适的响应分布和链接函数，为各种应用场景提供定制化解决方案。

未来研究可以进一步探索框架的扩展，如包含更多指数族分布、开发更高效的估计算法以及应用于更广泛的科学领域。此外，将框架扩展到处理高维预测变量和复杂交互效应也是值得探索的方向。