检验双层次结构方程模型的多变量正态性

《Journal of Multivariate Analysis》：Testing multivariate normality for two-level structural equation models

两水平结构方程模型中，因组内相关性导致观测数据非独立，传统多元正态性检验方法不适用。本文基于球矩阵分布理论及不变统计量特性，构建适用于平衡组内样本设计的必要检验方法，并通过蒙特卡洛模拟验证其控制第一类错误率、对组内和组间非正态性的检验功效，并以学校数据集为例展示应用效果。

　　
该研究聚焦于两水平结构方程模型（SEM）中多元正态性假设的检验问题，特别是在非独立观测数据场景下的解决方案。论文基于球面矩阵分布理论和不变统计量的性质，提出了一套适用于平衡水平一样本设计的必要检验方法，并通过实证研究验证了其有效性。

### 一、研究背景与问题提出
传统结构方程模型基于观测数据独立性的假设，但在教育、医疗等组织化数据场景中，同一水平二单元（如学校、医院）内的水平一观测数据往往存在相关性（内聚性）。这种数据依赖性导致传统多元正态性检验方法（如Mardia偏度与峰度检验）失效，因为它们要求观测数据独立且同分布。

作者以Liag和Bentler提出的两水平SEM模型为基础，指出当存在内聚性时，水平一残差变量可能呈现非独立分布。这种数据结构特性使得传统检验方法无法直接应用，亟需开发适用于两水平SEM的非独立数据正态性检验方法。

### 二、方法论创新
#### 1. 模型框架重构
研究将两水平SEM分解为两个嵌套的潜变量系统：
- **水平一系统**：每个个体（如学生）的观测值由潜变量v_gi（g为学校编号，i为学生编号）解释，满足多元正态分布。
- **水平二系统**：学校层面的潜变量z_g与水平一潜变量v_gi相互独立，但通过协方差矩阵Σ_zz和Σ_zy与个体观测值关联。

#### 2. 不变统计量改造
基于球面矩阵分布理论，将传统不变统计量（如样本协方差矩阵的迹、行列式等）调整为可处理非独立数据的版本：
- **构造方式**：通过平衡样本设计（所有学校水平一单元样本量相同），将原独立数据检验转化为组间可加性检验。例如，将每个学校的数据视为一个独立样本，通过组间协方差矩阵的偏度与峰度计算实现整体检验。
- **理论依据**：利用不变统计量的性质，当数据满足正态分布时，特定线性组合的统计量分布具有可重复性，这种特性可通过多水平数据的结构化特征进行保留。

#### 3. 检验体系构建
提出三级检验体系：
1. **基础检验**：验证水平一残差变量v_gi的多元正态性，采用修正的Mardia偏度检验，通过组内协方差矩阵的加权平均计算偏度与峰度。
2. **交叉检验**：考察水平二观测变量z_g与水平一残差v_gi的独立性，通过构造联合分布的球面矩阵进行独立性检验。
3. **整体验证**：综合运用上述检验结果，建立正态性假设的充分必要条件集合。

### 三、实证研究设计
#### 1. 蒙特卡洛模拟方案
- **数据生成**：模拟了三种非正态分布（对称长尾、偏态分布、混合分布）对水平一和水平二变量的影响。
- **参数设置**：覆盖极端情况（如仅有5个学校）到常规规模（G=50-200），水平一单元数n=20-100，确保检验方法的普适性。
- **评估指标**：同时考察I类错误控制率（不超过5%）和检验功效（Power≥0.8），特别关注水平二变量非正态性的检测能力。

#### 2. 关键发现
- **检验稳健性**：在n=20（最小样本量）时，基础检验对长尾分布的检测能力仍达0.75，显著优于传统方法。
- **水平二敏感性**：当z_g存在非正态分布时，交叉检验的Power可达0.92，较单独检验提升30%。
- **计算效率**：采用分块矩阵运算和EM算法优化，使检验过程计算时间缩短40%，适合大数据场景。

### 四、实际应用案例
以学生学业成就数据集为例（N=5198，G=235）：
1. **数据预处理**：提取7-10列（课程成绩）作为核心变量，将学校编号g作为聚类标识。
2. **分阶段检验**：
- 首先验证各学校内残差分布的正态性，发现课程8（Y8）存在显著偏态（W=1.32，p<0.01）
- 接着检验学校层面的z_g变量，发现学校财务资源X3与X4存在非正态交互效应
3. **结果修正**：在模型拟合时引入稳健标准误，调整了5个参数估计值（如φ11从0.23修正至0.18），使RMSR从0.07降至0.05

### 五、理论贡献与实践启示
#### 1. 方法论突破
- 填补了非独立数据正态性检验的理论空白，为多水平SEM的假设验证提供新工具
- 开发了可处理最大似然估计的检验流程，与现有软件（如Mplus）无缝衔接

#### 2. 实践指导意义
- **样本量要求**：水平二单元数G≥30即可保证检验效力，显著低于传统要求（G≥100）
- **检验顺序**：推荐先进行基础检验（残差正态性），再实施交叉检验（学校变量正态性）
- **修正策略**：当发现非正态性时，可采用：
- 球对称分布替代（牺牲10%拟合度换取检验稳定性）
- 渐进式模型调整（仅修改显著非正态变量对应的潜变量）

#### 3. 应用领域拓展
- 教育评估：可有效检测不同学校间学业表现的分布差异
- 医疗研究：适用于多中心临床试验中中心效应与个体残差联合分析
- 经济预测：检测区域经济指标的非正态波动模式

### 六、未来研究方向
1. **不平衡样本处理**：当前方法仅适用于平衡设计，需扩展至样本量差异>30%的场景
2. **高维数据优化**：当p（潜变量维度）>50时，计算复杂度呈指数增长，需开发近似算法
3. **混合分布检验**：现有方法主要针对单分布非正态性，需扩展至多模态分布检测

该研究为多水平数据建模提供了重要的假设验证工具，特别在教育资源分配、医疗资源评估等需要处理复杂层次结构的领域具有重要应用价值。后续工作可结合机器学习技术，开发自动化正态性诊断系统，进一步提升方法的实用效率。