基于稳健薄板样条的离散化函数型回归模型估计与收敛性分析

《Computational Statistics & Data Analysis》：Robust Functional Regression with Discretely Sampled Predictors

本文针对函数型线性回归中协变量离散化观测及误差项存在厚尾或异常值的问题，研究了基于M-估计和薄板样条惩罚的稳健估计方法。作者建立了估计量的存在性、唯一性及收敛速率，证明了在适当条件下，估计量具有最优的非参数收敛速率，且对离散化误差具有鲁棒性。该研究为高维函数型数据的稳健分析提供了理论依据和实用方法。

　　

函数型数据分析作为统计学的一个重要分支，近年来在生物医学、金融、工程等领域获得了广泛应用。然而，实际研究中我们往往无法获得完整的函数轨迹，只能通过离散时间点进行观测。更棘手的是，实际数据常常存在异常值或厚尾分布，传统的最小二乘法在这种情况下会表现出较差的稳定性。如何在这种离散化观测和存在污染的数据环境下，建立具有理论保证的稳健估计方法，成为函数型回归分析中亟待解决的关键问题。

近期发表在《Computational Statistics》上的一项研究，由国内统计学者团队完成，针对这一挑战提出了创新的解决方案。研究人员发展了一套基于M-估计和薄板样条惩罚的稳健估计框架，不仅在理论层面建立了估计量的收敛性质，还为实际应用提供了可行的计算方法。

本研究采用了几个关键技术方法：首先构建了结合离散化点函数值和Sobolev半范的新型惩罚函数J_m²(β)；其次利用M-估计方法进行参数估计，涵盖了L₁损失、Huber损失等多种稳健损失函数；还引入了辅助尺度估计量实现尺度不变性。研究样本来源于函数型协变量的离散化观测，通过建立适当的理论框架分析估计量的渐近性质。

估计量的存在性与唯一性

研究首先证明了在适当条件下， penalized M-估计量(α?_n, β?_n)的存在性。当损失函数ρ严格凸时，估计量是唯一的。关键在于，解必然是一个以t₁,...,t_p为节点的自然薄板样条，这为后续的理论分析和实际计算奠定了基础。

收敛速率分析

通过建立一系列理论结果，研究人员发现估计量的收敛速率由两部分组成：样本量相关的经典非参数速率n^-m/(2m+d)和离散化误差相关的项max_1≤j≤pdiam^κ(A_j)。当离散化足够精细时，收敛速率由样本量主导；否则，离散化误差将成为主要影响因素。这一发现为实际研究中如何选择离散化密度提供了理论指导。

尺度估计的影响

研究还探讨了需要辅助尺度估计的情况，证明了在一定正则条件下，尺度估计量的收敛性不会影响主要参数的估计效率。对于常用的M-尺度估计量，如基于Tukey双权重函数的估计，研究建立了其相合性，为实际应用提供了理论支持。

研究的理论结果表明，基于薄板样条的稳健估计方法在函数型回归中具有优良性质。该方法不仅对异常值具有抵抗力，还能有效处理函数型协变量的离散化观测问题。收敛速率分析揭示了样本量与离散化密度之间的权衡关系，为实际研究中的实验设计提供了重要参考。

这项研究的创新之处在于将稳健统计思想与函数型数据分析相结合，建立了统一的理论框架。所提出的方法不仅具有理论上的严格保证，在实际应用中也易于实现。未来工作可进一步探索自适应惩罚参数选择、高维设定下的扩展以及更复杂的函数型回归模型等问题。