基于真非高斯纠缠的量子层析复杂度：高斯可纠缠态的高效学习与非高斯资源理论

《Nature Communications》：Complexity of quantum tomography from genuine non-Gaussian entanglement

本文针对量子态层析中因系统规模增大导致所需样本数指数级增长的难题，研究人员聚焦于玻色子系统中量子关联的本质，开展了关于“真非高斯纠缠”的主题研究。他们定义了高斯可纠缠（GE）态，证明了纯GE态仅需多项式量级样本即可被高效学习，并建立了非高斯可纠缠（NGE）态的资源理论，其GE代价精确刻画了层析的指数级开销。该研究揭示了量子关联性质与学习复杂度之间的深刻联系，对量子信息处理具有重要意义。

　　

在量子物理与量子信息科学的核心地带，一个长期存在的挑战横亘在研究者面前：如何高效地获取量子系统的完整描述？量子态层析（Quantum State Tomography）作为完成这一任务的关键技术，旨在通过实验测量数据来重构量子态的经典描述。然而，对于包含复杂量子关联的大规模系统，传统层析方法通常需要消耗指数级数量的量子态拷贝，这成为了量子设备认证、基准测试乃至验证量子优势道路上的主要瓶颈。特别是在玻色子这样的连续变量（Continuous-Variable）系统中，其无限维的希尔伯特空间更是为层析任务增添了额外的复杂性。问题的根源在于量子子系统间纠缠等关联的复杂性：高度纠缠的态难以学习，而具有经典关联的可分离态则相对容易。那么，是否存在一大类非平凡的、甚至可用于展示量子计算优势的纠缠态，它们的学习复杂度却可以显著降低？理解量子关联性质与学习样本复杂度之间的相互作用，成为一个亟待解决的基础问题。

近日，发表在《Nature Communications》上的一项研究为这一难题提供了深刻的答案。由Xiaobin Zhao、Pengcheng Liao、Francesco Anna Mele、Ulysse Chabaud和Quntao Zhuang组成的研究团队，从量子关联的产生方式入手，揭示了玻色子系统中量子态层析复杂度的根本规律。研究的关键在于区分了两类量子态：那些可以通过广义高斯干涉过程从可分离态产生的态——即高斯可纠缠（Gaussian-Entanglable, GE）态，以及那些不能通过此类过程产生的、具有真非高斯纠缠（Genuine Non-Gaussian Entanglement）的态。令人惊讶的是，尽管GE态家族包含了如玻色采样（Boson Sampling）输出态等能够提供量子计算优势的资源，研究团队却证明了对任意纯的m模GE态，仅需要多项式（poly(m)）数量的样本即可完成高效学习。反之，对于非高斯可纠缠（Non-Gaussian-Entanglable, NGE）态，他们引入了一个操作性的单调量——GE代价（GE Cost），该代价精确刻画了学习这些态所需的指数级开销。此外，该研究还解决了一个长期存在的开放性问题，即证明了除了N=2的Hong-Ou-Mandel效应案例外，N≥3光子的NOON态无法通过任意两模可分离态的干涉确定性地产生，因为它们不属于GE态。

为开展此项研究，研究人员主要运用了以下几个关键技术方法：首先，他们理论定义并刻画了高斯可纠缠态与非高斯可纠缠态的分类框架。其次，他们提出了高斯解纠缠层析协议，该协议结合了高斯幺正操作、局部态层析（如零差或外差探测）和经典后处理。再者，他们建立了基于纠缠熵和非高斯辅助模数的资源理论框架来量化真非高斯纠缠。此外，研究还包含了严格的数学证明（如定理1的分解定理）以及对态空间体积的复杂度和样本复杂度的理论分析，以支撑其高效学习的主张。

结果

连续变量系统与态学习

研究首先明确了所关注的物理系统为m模玻色子量子系统，其态受到能量矩约束。学习一个态等价于在态空间中以迹距离为度量，将其定位在一个ε球内。对于受约束的纯态，其态空间的体积随着系统尺寸呈双指数增长，这体现了态学习的固有难度。

高斯态与协议

高斯态（如相干态、压缩态）和高斯操作（如分束器、相位旋转、压缩操作）因其在实验上的友好性和理论上的可处理性而备受关注。高斯协议被定义为包括高斯幺正、部分迹、与辅助真空态复合以及概率性地应用上述操作。

高斯可纠缠态

研究团队核心地定义了（双部分）高斯可纠缠态：这些态可以通过对（可能非高斯的）可分离态系综概率性地应用高斯协议而得到。GE态是凸的，其范围广泛，包括所有高斯态及其凸混合、玻色采样输出态、多模Gottesman-Kitaev-Preskill（GKP）码态以及纠缠猫态等。一个关键结论是定理1：任何纯GE态都可以分解为一个高斯幺正作用在局域态的张量积上。这意味着GE态的复杂关联完全由高斯幺正所编码，而局域部分相对简单。

纯GE态的高效学习

基于定理1，研究提出了高斯解纠缠学习协议。该协议首先通过测量估计态的均值向量和协方差矩阵，然后应用一个估计出的高斯幺正（“反向旋转”）将GE态映射为一个被动可分离态（对于非简并情况）或被动可分离形式（对于简并情况）。随后，对反向旋转后的态进行局部态层析（如使用外差探测），再通过经典处理重构整个态。定理2严格证明了学习纯GE态所需的样本数M满足多项式上界，即M ≤ O[poly(m, E, 1/ε, log(1/δ))]，这表明层析是样本高效的。文章以玻色采样输出态（一种被动可分离态）为例，详细描述了学习算法。

迈向混合GE态的高效学习

研究进一步将讨论扩展到混合GE态。定理3表明，即使目标态是近似纯的GE态（即制备信道接近高斯幺正），GDE协议在误差大于信道近似误差时仍然是高效的。推论4指出，对于由高斯幺正作用于单模混合态张量积所产生的态，若其辛特征值非简并，GDE协议同样能实现多项式样本复杂度的学习。这对于模拟实际实验中的均匀损耗等非理想情况具有重要意义。数值模拟结果（图4）显示，对于两模GE态，GDE方法在误差下降速度和缩放行为上均优于直接层析方法。

非高斯可纠缠态

研究明确指出了NGE态的存在，这些态具有真非高斯纠缠，无法通过高斯协议产生。例子包括N≥3的NOON态以及TMSV态的叠加态等。研究还证明了高斯幺正将NGE态映射为NGE态。

真非高斯纠缠的资源度量

研究为真非高斯纠缠建立了资源理论框架，以GE态为自由态，高斯协议为自由操作。他们定义了两个重要的单调量：一是非高斯纠缠熵（NG熵），通过在高斯幺正下最小化各部分子系统的平均冯·诺依曼熵来度量；二是GE代价，它定义为使一个NGE态通过引入辅助模成为GE态所需的最小辅助模数（或其向量的最大分量）。GE代价是一个操作性的度量，直接关联到态的产生复杂性和学习复杂度。

学习纯NGE态

研究将学习NGE态的样本复杂度与GE代价联系起来。定理6指出，对于GE代价函数为R_f的纯态，学习所需的样本数上界为poly(?, E, 1/Δ, 1/ε, log(1/δ)) · Θ[(E/ε)^R_f]，下界也包含(E/ε)^R_f+1的依赖关系。这表明学习NGE态的样本开销确实是指数级的，且指数由GE代价决定。这也将该工作与之前研究的t掺杂高斯态联系起来。

讨论

本研究定量揭示了玻色子系统中量子关联性质与层析复杂度之间的深刻联系，确立了真非高斯纠缠这一关键资源在其中的核心作用。研究证明，尽管GE态家族包含了许多用于量子计算优势的非高斯资源，但它们却可以被高效学习；而NGE态的学习则通常需要面对指数级的样本复杂度，这一开销由GE代价精确量化。这一发现不仅深化了对量子态复杂性的理解，也为量子态制备、量子资源理论以及量子计算优势的验证提供了新的视角和工具。此外，研究还解决了关于NOON态确定性生成的长期开放问题。

研究的结论强调了量子关联的“来源”而非仅仅是其“存在”决定了态的学习难度。那些通过高斯操作从可分离态“编织”出来的纠缠（GE态），其结构相对简单，可以被高效解析；而那些需要内在非高斯操作才能产生的纠缠（NGE态），则蕴含着更深的复杂性，学习它们需要付出指数级的代价。这项工作为未来量子技术的发展，特别是在区分可学习资源和不可学习资源、指导高效量子态表征以及设计新型量子协议等方面，奠定了重要的理论基础。