关于广义积分多项式佩尔方程的注记

《Bulletin of the Australian Mathematical Society》：NOTES ON GENERALISED INTEGRAL POLYNOMIAL PELL EQUATIONS

该研究将Gupta和Saha关于二次多项式 Pell 方程整数解的分类推广到四次多项式情形，探讨方程P2?(f2+af+b)Q2=nR的解结构，并以D(f)为四次非平方-free多项式为例验证结果，扩展了Scherr和Thompson的定理。

　　

摘要

给定一个非零整数 $n$，Gupta 和 Saha 在《Canad. Math. Bull.》中（即将发表）的文章《广义多项式Pell方程的整数解及其有限性：二次情况》中，对所有多项式 $x^2 + ax + b \in \mathbb{Z}[x]$ 进行了分类，这些多项式满足多项式Pell方程 $P^2 - (x^2 + ax + b)Q^2 = n$ 有解 $(P, Q) \in \mathbb{Z}[x]$，且 $Q \neq 0$。我们将他们的研究结果推广到方程 $P^2 - (f^2 + af + b)Q^2 = nR$，其中 $f$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 中的一个固定多项式。作为我们结果的一个应用，我们研究了方程 $P^2 - D(f)Q^2 = n$，其中 $D$ 是 $\mathbb{Z}[x]$ 中的一个首一四次非平方多项式。这扩展了 Scherr 和 Thompson 在《J. Number Theory》（2024年，第259卷，第38-56页）中的定理1.4。

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脚注

本工作得到了越南国家科学技术发展基金会（NAFOSTED）的支持，资助编号为 101.04-2023.21。

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