流形上的对偶p进丢番图逼近及其Hausdorff测度理论

《Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society》：Dual p -adic Diophantine approximation on manifolds

本文针对p进数域上广义Baker-Schmidt问题中的收敛性难题展开研究。作者通过建立满足特定曲率条件(IIp)的解析流形上对偶逼近的Hausdorff测度零性判据，首次在超曲面（维数≥3）及特定流形类别上实现了齐次情形的收敛定理，并对非齐次情形给出弱化结果。该工作突破了p进逼近理论中长期存在的技术瓶颈，为完善度量丢番图逼近理论体系提供了关键工具。

　　

在数论研究领域，如何精确描述有理点逼近流形上点的分布规律一直是核心难题。自从马勒（Mahler）于1932年提出流形上的丢番图逼近问题以来，实域上的相关理论已取得长足发展，然而在p进数域_Qp上的平行研究却因技术困难进展缓慢。特别是广义贝克-施密特问题（GBSP）所预测的Hausdorff测度零满判据，其收敛性部分始终是悬而未决的挑战。本文发表于《爱丁堡数学会会刊》的研究，通过引入创新的曲率分析技术，首次系统解决了p进流形上对偶逼近的收敛性问题。

为攻克这一难题，研究团队构建了多维逼近函数Ψ: Zⁿ⁺¹→R₊框架下的Hausdorff测度估计体系。关键技术突破体现在三个层面：其一，建立p进解析流形的强可微性理论，利用p进逆函数定理确保局部微分同胚性质；其二，设计具有非退化Hessian矩阵条件的流形曲率假设(II_p)，保证?²h_a(x)的行列式在排除零测集后全局有下界；其三，引入满足倍积条件(I_p)的维度函数f，使得Hausdorff测度估计能与逼近函数的衰减速率建立定量关联。

主要结果

1. 1.
   齐次收敛定理：对于满足(II_p)的d维解析流形，当求和∑Ψ(a)^-(d-1)f(Ψ(a))收敛时，异常集H^f(D_n,p(Ψ)∩M)具有零测度。该结论通过引入辅助函数h_a(x)=?₂a₁·x+?₂a₂·g(x)的梯度分析实现，其中?₂=‖a₂‖_p的标准化处理有效平衡了不同向量分量的量级影响。
2. 2.
   非齐次情形推广：通过限制整数向量集Z(1)（至多一个坐标被p整除）和Z(2)（整体互素），在|θ|_p≠1等条件下获得收敛性。证明中利用p进范数的强三角不等式，精确控制了平移项θ对逼近精度的扰动效应。
3. 3.
   维数计算应用：当f(r)=r^s且Ψ(a)=‖a‖^-τ-1时，推得临界指数dim_H=d-1+(n+1)/(τ+1)。该结果通过将Datta-Ghosh（2022）的散度定理与本文收敛定理结合，首次实现超曲面情形下Hausdorff维数的精确刻画。

讨论与意义

本研究突破性的技术贡献在于将实流形上的曲率分析方法成功移植到p进框架。特别值得注意的是，p进解析性要求较实情形的C²光滑性更为严格，这源于p进逆函数定理对强可微性的本质需求。作者通过构造具各向异性特征的二次型示例（如g(x₁,x₂)=(x₁²+px₂², x₁x₂)），验证了条件(II_p)在codimension=2流形上的可实现性，同时指出p进域上的等方性限制会导致维度组合(n,d)的刚性约束。

这项工作从根本上推进了p进度量丢番图逼近的理论框架，不仅解决了广义Baker-Schmidt问题的收敛性空白，更开创了将几何曲率分析与p进调和分析相结合的新范式。尤为重要的是，所建立的Hausdorff-Cantelli引理强化形式可推广到S-算术情形，为未来研究adel流形上的逼近问题提供了方法论基础。论文中关于非单调逼近函数的处理技术，更对研究Diophantine逼近中的阈值现象具有启示意义。