面向厚尾数据的增强型截断指数广义分布族：理论构建及其在保险损失建模中的应用

《ASTIN Bulletin: The Journal of the IAA》：Enriched truncated exponentiated generalized family of distributions with application to heavy-tailed data

本文推荐：为解决传统分布在拟合极端保险损失数据时存在的局限性，研究人员开发了一种新的统计分布族——增强型截断指数广义分布族（Enriched Truncated Exponentiated Generalized family, ETE-G）。该研究以对数逻辑分布（log-logistic）为基础构建了三参数子模型ETELL，系统探讨了其统计性质、矩、Fisher信息矩阵及尾部厚度。通过最大似然估计验证参数存在性与唯一性，并应用于挪威火灾保险索赔数据集。结果表明，ETE-G分布族在拟合优度及尾部风险度量（VaR、CTE）方面优于广义帕累托分布（GPD）、指数帕累托分布等经典模型，为厚尾数据建模提供了更灵活的工具。

　　

在保险精算和风险管理领域，准确描述损失数据的分布特征至关重要，尤其是那些罕见但影响巨大的极端事件。传统上，帕累托（Pareto）分布因其能刻画厚尾现象而被视为基准模型，广泛应用于火灾保险、巨灾保险等场景。然而，标准帕累托分布在尾部区域的灵活性不足，难以精准捕捉极端损失，这促使研究者不断寻求其泛化形式。例如，广义帕累托分布（GPD）由Pickands（1975）提出，用于改进极端值的拟合效果；后续还出现了指数帕累托分布、Odd Pareto分布等多种变体。挪威火灾保险索赔数据（1972-1992年）作为一个经典案例，常被用来检验各种厚尾模型的性能。该数据集包含9181条损失记录，起赔点为50万挪威克朗，其数据高度右偏，且含有少量但金额巨大的索赔，传统模型在此类数据上的拟合往往不尽如人意。

针对现有模型的局限，美国中密歇根大学统计、精算与数据科学系的Richard Dankwa和Kahadawala Cooray提出了一种新的分布族——增强型截断指数广义分布族（ETE-G）。该分布族通过截断和指数化增强（Enriching）技术，将任意基线分布（以中位数为截断点）转化为更具弹性的新分布。其核心思想是：首先对基线分布G(x)进行指数化（Exponentiated-G），然后在其中位数θ处进行截断，最后通过参数β（可正可负）实现分布形状的“增强”。由此得到的ETE-G分布族累积分布函数（CDF）和概率密度函数（PDF）形式简洁，其子模型支持从对称、右偏到反J型等多种形态，风险函数（Hazard Function）也可呈现递减、浴盆（bathtub）或倒浴盆（upside-down bathtub）等丰富模式。

研究中重点探讨了一个基于对数逻辑分布（Log-Logistic）的三参数子模型——增强型截断指数化对数逻辑分布（ETELL）。该分布不仅将经典帕累托分布（当β=1时）和Bourguignon等（2016）提出的新帕累托分布（当β=-1时）囊括为特例，更在尾部厚度上表现出显著优势。理论分析表明，ETELL分布是厚尾的，其尾部指数为ξ=1/α，当α较小时，尾部极重，能更好地拟合极端损失。此外，研究还推导了ETELL的分位数函数、模（Unimodality条件为β<-1/α）、矩（仅当k<α时存在）以及香农熵（Shannon Entropy）的解析表达式。

为验证模型实用性，作者将ETE-G家族的多个子模型（包括ETELL、ETEPC（幂柯西分布）、ETELN（对数正态分布）、ETELC（对数柯西分布）、EETEFC（扩展折叠柯西分布）和ETEBS（Birnbaum-Saunders分布））与帕累托、GPD、指数帕累托、Odd帕累托和Beta-帕累托等传统模型一同应用于完整的挪威火灾保险索赔数据（扣除免赔额500后共9020个样本）。拟合优度比较指标包括负对数似然（Negative Log-Likelihood）、AIC、BIC、K-S、A-D和C-M统计量及其模拟p值。

结果显示，ETE-G家族的多个子模型在拟合优度上普遍优于对比模型。其中，基于幂柯西分布的ETEPC模型在AIC、BIC、K-S、A-D和C-M统计量上表现最佳，且其拟合优度检验的p值均超过5%，表明即使对于大样本数据集，该模型也具有出色的整体拟合效果。ETELL和EETEFC模型紧随其后。然而，Q-Q图和log-log生存函数图等图形诊断显示，尽管ETEPC在整体拟合指标上领先，但ETELL在极端上尾部的拟合视觉上更优，尤其能更好地捕捉最高损失值。这提示在 actuarial 应用中，需将全局拟合指标与图形诊断、尾部风险度量结合评估。

风险度量（VaR 和 CTE）的回测（Backtesting）进一步评估了模型尾部的准确性。在2%、1%和0.5%的上尾水平上，ETELL、ETEPC和EETEFC的VaR估计值均能通过二项检验（p值表明可接受原假设），说明其VaR估计是合理的。但对于条件尾部期望（CTE），ETELL模型在三个尾水平上的理论估计与经验估计差异最小（约3%-10%），且t检验的p值表明其CTE估计是可接受的，而ETEPC和EETEFC的CTE估计则出现显著高估。对于保险业而言，轻微高估风险通常比低估更为稳健，因此ETELL在刻画极端损失风险方面展现出其应用价值。

本研究构建的ETE-G分布族为建模厚尾数据提供了强有力的新工具，其理论性质严谨，子模型灵活多样。实证分析表明，该家族模型在处理真实保险损失数据时，尤其在刻画极端尾部风险方面，优于许多现有模型。未来研究方向包括将该框架扩展到更广泛的基线分布，并深化其在不同保险损失数据集中的应用，以进一步提升其实际影响力。

主要技术方法概述：

研究采用最大似然估计（MLE）进行参数估计，并证明了估计量的存在性与唯一性（当|β|≤1时）。通过蒙特卡洛模拟（10,000次重复）评估了估计量的性能（偏差、均方根误差RMSE和覆盖概率）。利用Fisher信息矩阵计算标准误。拟合优度检验结合了似然基准则（AIC, BIC）和分布函数基准则（K-S, A-D, C-M统计量及其模拟p值）。风险度量（VaR, CTE）的回测采用二项检验（VaR）和t检验（CTE）进行。应用的挪威火灾保险索赔数据集（1972-1992年，n=9020，起赔点θ=500）是公开的经典厚尾数据集。