涉及分数p-Laplacian方程的正解的单调性在强制性上图（coercive epigraph）中

《Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society》：Monotonicity of positive solutions to equations involving fractional p -Laplacian in coercive epigraph

本文研究分数p-Laplace方程在具有连续增长边界的紧集上的Dirichlet问题，通过分析非线性项的结构，证明了正解的严格单调性，为理解此类方程的存在唯一性提供了新方法。

　　

摘要

在本文中，我们研究了涉及分数阶$p$-Laplacian的非线性方程的以下Dirichlet问题：

\begin{equation*}\begin{cases}(-\Delta)_p^\alpha u=f(x,u,\nabla u),\ \ u \gt 0,\ \ \text{在}\ \ E\text{中},\\\ \ \ \ \ \ u\equiv0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \text{在}\ \ \mathbb{R}^{n}\setminus E\text{中},\end{cases}\end{equation*}

其中$E \subseteq \mathbb{R}^{n}$

\begin{equation*}\lim_{|x'|\rightarrow+\infty}\phi(x')=+\infty,\end{equation*}

定义$E:=\{x=(x',x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}|\,x_{n} \gt \phi(x')\}$

这里$x':= (x_{1},...,x_{n-1}) \in \mathbb{R}^{n-1}$

在对非线性项$f(x,u,\nabla u)$做一些温和的假设下，我们证明了在上述涉及分数阶$p$-Laplacian的Dirichlet问题中，正解在强制性上图$E$内是严格单调的。

---

---