基于THB样条与多级贝塞尔提取的自适应等几何分析在耦合静磁学中的应用

《IEEE Transactions on Magnetics》：Adaptive isogeometric analysis with THB-splines and multi-level Bézier extraction for coupled magnetostatics

本文针对永磁同步电机(PMSM)仿真中计算效率与精度平衡的挑战，提出了一种结合截断分层B样条(THB-spline)和多级贝塞尔提取的自适应等几何分析(IGA)方法。研究人员通过最小二乘后验误差估计器驱动局部网格细化，并采用谐波砂浆法处理转子-定子耦合界面，实现了在保持计算精度的同时显著降低计算成本。该方法为电气设备仿真提供了自动化、高精度的解决方案，推动了CAD与有限元分析的无缝集成。

　　

在电气工程领域，永磁同步电机(PMSM)的数值仿真已成为性能分析和设计优化不可或缺的工具。然而，传统仿真流程仍存在显著瓶颈：计算机辅助设计(CAD)模型的重复性网格划分过程既耗时又繁琐，严重制约了设计效率。更关键的是，全局网格细化会导致计算资源在非关键区域被浪费，而转子与定子间的旋转界面耦合问题更是增加了仿真复杂度。这些挑战催生了对既能保持几何精度又能实现局部自适应细化新方法的需求。

为突破这些局限，格拉茨工业大学与达姆施塔特工业大学的研究团队在《IEEE Transactions on Magnetics》上发表了创新性研究成果。他们成功将等几何分析(Isogeometric Analysis, IGA)与截断分层B样条(THB-splines)相结合，并引入多级贝塞尔提取技术，构建了一套完整的自适应仿真框架。该框架通过最小二乘后验误差估计器智能驱动局部网格细化，同时采用谐波砂浆法(harmonic mortaring)确保转子-定子接口的连续性，为旋转电机仿真提供了高精度、高效率的解决方案。

研究团队的核心技术方法包括：THB样条局部细化技术，通过分层嵌套空间实现指定区域的精准加密；多级贝塞尔提取，将复杂样条空间转换为标准有限元程序可处理的伯恩斯坦多项式；基于最小二乘的后验误差估计器，为自适应细化提供量化依据；以及谐波砂浆耦合方法，通过傅里叶级数展开处理旋转界面非匹配网格的连接问题。

研究方法与结果

模型建立与理论框架

团队以永磁同步电机为应用载体，建立了二维静磁学近似模型。该模型通过磁矢量势A_z描述转子和定子域中的磁场分布，控制方程简化为泊松方程形式。特别值得关注的是，研究人员采用谐波函数离散界面项，通过引入傅里叶系数λ_l表示方位场强，建立了非匹配网格的弱耦合形式。这种创新处理使得转子与定子侧可以独立处理，仅需通过拉格朗日乘子法在平均意义上实施耦合条件。

等几何分析技术实现

在技术实现层面，研究团队详细阐述了从传统B样条到THB样条的完整技术路径。通过节点插入算法实现全局细化，再结合截断操作消除粗网格函数在细化区域的影响，既保持了分区一致性又改善了数值稳定性。

多级贝塞尔提取的关键突破在于将层次化样条空间映射到标准贝塞尔元素空间，使得基于THB样条的复杂几何描述能够直接嵌入传统有限元装配流程。这种巧妙转换既保留了几何精确性，又充分利用了现有有限元代码的成熟计算框架。

自适应策略与误差估计

自适应循环设计体现了研究的系统性思维：通过"求解-估计-标记-细化"的闭环流程，结合基于能量指标的粗化机制，实现了计算资源的动态优化配置。误差估计器创新性地采用双空间设置——试验空间用于主解，测试空间用于细化后的样条函数空间，通过最小二乘投影获得局部误差分布。

耦合系统的误差估计集成

针对转子-定子耦合这一核心难题，研究团队提出了统一表述，将误差估计器与磁静态耦合系统整合为单一线性系统。通过缩放因子κ动态调整谐波耦合自由度数量，确保接口分辨率与局部网格细化水平相协调。这种集成方法使得误差估计能够同时处理细化决策和界面连续性，为复杂多物理场耦合问题提供了新的解决思路。

数值验证与性能分析

在数值验证环节，团队设计了三个层次逐步深入的验证体系。首先通过拉普拉斯问题验证误差估计器识别局部特征的能力，结果显示自适应细化在梯度较高区域自动加密网格，L₂误差梯度收敛行为与真实误差高度一致。

耦合域自适应验证表明，该方法在不同多项式次数(二次和三次THB样条)下均能保持最优收敛速率，且界面处分辨率协调一致。永磁同步电机全模型仿真结果尤为令人印象深刻：静态仿真中，自适应细化仅用8229个自由度就在磁铁边缘和转子-定子界面等高梯度区域实现了精确捕捉，计算效率显著优于全局细化方法。

瞬态仿真通过组合网格对比验证了自适应方法的优越性。数据显示，自适应网格在大多数转子角度下仅需3000-5000个元素即可达到与11388个元素的组合网格同等精度水平，计算速度提升2-5倍。虽然自适应过程产生额外计算成本，但这种代价换来了全自动化工作流程，特别适用于早期设计阶段和参数化研究。

研究结论与意义

本研究的核心贡献在于建立了一套完整的自适应等几何分析框架，成功解决了电气机器仿真中的精度与效率平衡难题。THB样条与多级贝塞尔提取的结合，使得局部细化能够自然融入标准有限元流程；误差估计器与谐波砂浆法的统一表述，则确保了耦合界面在自适应过程中的一致性。这种方法不仅显著提升了永磁同步电机仿真的计算效率，更重要的价值在于其通用性——为各类多物理场耦合问题提供了可扩展的解决方案框架。

研究结果证实，基于THB样条的自适应策略能够智能识别关键区域并动态调整网格分辨率，在保持计算精度的同时大幅降低计算成本。这种"按需分配"的计算资源管理理念，代表了计算电磁学发展的新方向。特别值得强调的是，该方法完全摆脱了对人工干预的依赖，实现了从网格生成到误差估计的全流程自动化，为复杂工程系统的快速仿真与优化设计奠定了坚实基础。

从更广阔的视角看，这项研究推动了等几何分析从理论方法向工程应用的实质跨越。通过将CAD几何建模与数值分析无缝集成，不仅缩短了设计周期，更深刻改变了传统仿真工作流程。随着电气设备向高效化、精密化方向发展，这种兼具几何保真度与计算高效性的方法，必将在电机设计、能量转换装置优化等领域发挥越来越重要的作用。