基于Pacejka魔术公式的新型磁材料非滞后曲线建模及其在电磁仿真中的应用

《IEEE Transactions on Magnetics》：A New Anhysteresis Curve for Magnetic Materials

本刊推荐：为解决传统非滞后曲线在电磁仿真中参数调节自由度低、数值平滑性差的问题，研究人员开展了一项关于新型非滞后曲线建模的主题研究。他们提出了一种源自Pacejka魔术公式的四参数解析函数，实现了连续可微的严格单调特性，并通过拟合硅钢片和Armco铁等材料验证了其优越精度。该模型为b（磁感应强度）基有限元（如磁矢量势 formulation）提供了高效牛顿-拉夫森反演方案，对变压器、旋转电机等磁设备仿真具有重要意义。

　　

在电磁设备如变压器和旋转电机的仿真设计中，准确描述磁性材料的本构关系至关重要。其中，非滞后曲线（anhysteresis curve）作为材料在热力学平衡状态下的磁化行为表征，直接影响仿真结果的可靠性。传统常用的解析函数，如反切函数、双朗之万函数（double Langevin function）或双曲正切函数，虽具饱和特性，但往往仅提供一至两个可调参数，限制了其对实测数据的拟合灵活性。此外，这些函数在数值平滑性、连续可导性方面存在局限，尤其双朗之万函数在原点处存在导数不连续问题，给基于微分磁导率的数值求解器带来挑战。另一方面，b（磁感应强度）基有限元 formulation（如磁（准）静态矢量势 formulation）要求反演本构关系以获得h(b)，而包含真空贡献μ₀h的b(h)关系并非双射，无法解析反演。这些痛点促使研究人员寻求一种兼具高拟合自由度、严格单调、连续可微且便于数值反演的新型非滞后曲线模型。

为解决上述问题，发表在《IEEE Transactions on Magnetics》上的这项研究，提出了一种源于车辆动力学中Pacejka魔术公式的新型非滞后曲线。该模型通过四个物理意义明确的参数（m_sat, a, b, c）分别控制饱和磁化、膝点后曲率、膝点高度和原点处曲率，确保了函数的严格单调性和连续可导性。研究通过MATLAB的fmincon优化器对多种硅钢片和Armco铁的实测非滞后曲线进行拟合，结果显示其拟合误差普遍低于传统函数。同时，论文还详细探讨了基于牛顿-拉夫森方法（Newton-Raphson method）的本构关系反演策略，通过分区线性近似与饱和函数结合，显著提升了反演效率，为有限元仿真中的磁矢量势 formulation提供了实用解决方案。

研究采用的关键技术方法主要包括：基于Pacejka魔术公式推导新型非滞后曲线函数并验证其单调性；利用非线性规划（fmincon）对硅钢片和Armco铁实测数据进行参数优化；设计分区初始猜测策略（原点线性区、膝点饱和区、高场真空区）结合牛顿-拉夫森迭代实现b(h)到h(b)的高效反演。

II. 非滞后曲线

新型非滞后曲线函数定义为m(h) = m_satsin(arctan(ah + b arctan(ch)))，通过约束参数m_sat≥ 0, a ≥ 0, bc ≥ 0保证严格单调性。其导数解析式（公式4）显式给出，便于数值实现。各参数对曲线形状的影响如图1所示：参数a控制膝点后曲率，b控制膝点高度，c控制原点处曲率。

III. 数值拟合程序与示例

通过最小化L2范数误差（公式5）对四种磁性材料（三种硅钢片和Armco铁）进行拟合，结果如图2和表I所示。拟合参数均满足约束条件，其中硅钢3和Armco铁的参数b、c为负值，但仍通过乘积bc ≥ 0维持单调性。与传统函数（双朗之万、反切、双曲正切）的误差对比（图3至图6）表明，新型曲线在多数材料中相对误差更低。

IV. 本构关系的反演

针对b基有限元需求，研究采用牛顿-拉夫森法求解E(h) = b(h) - b_desired的根（公式6-8），其中b(h) = μ₀h + μ₀m(h)。为提高迭代效率，将h域划分为三个区域（图7）：原点附近（|h| < h₁）采用线性近似，膝点区（|h| ∈ [h₁, h₂)）使用双射饱和函数b(h) = h/(s + h)，高场区（|h| ≥ h₂）近似为真空斜率。通过公式9-11计算初始猜测，反演迭代次数显著减少（表II），均值从2.5-2.9次降至1.1-1.3次。

本研究提出的新型非滞后曲线成功解决了传统模型在参数灵活性与数值平滑性方面的不足。其四参数结构允许精确刻画不同磁化阶段（线性区、膝点区、饱和区），而连续可导特性确保了微分磁导率计算的稳定性。在反演算法中，分区初始猜测策略将牛顿-拉夫森法的迭代效率提升约50%，为大规模有限元仿真提供了实用工具。该模型不仅适用于变压器、电机等设备的稳态分析，还有望扩展至动态磁滞建模领域，为复杂电磁系统的精确仿真奠定基础。