张量对称性与非线性晶格热化：从模态混合到光学热力学平衡

《Journal of Nonlinear Waves》：Tensorial symmetries and thermalization of nonlinear lattices

语 本研究针对立方非线性晶格热化机制不明确的问题，通过建立模态空间中的四阶混合张量理论，系统分析了非线性耦合的张量对称性（如准厄米性与置换对称性）与热化行为的关联。研究发现，满足对称性条件的晶格系统（如Kerr晶格及非局域模型）在数值模拟中均趋于Rayleigh-Jeans分布，而对称性破缺体系（如Ablowitz-Ladik模型）则无法热化。该工作为理解非线性多体系统平衡态提供了张量分析新范式，并发展了逆向构建晶格模型的创新方法。

　　

在非线性光学领域，多模波导中光场的复杂相互作用一直是研究热点。这类系统通常由大量耦合的波导构成，光在传播过程中会因非线性效应（如克尔非线性）发生模式间的能量交换。尽管实验观察到此类系统常趋于统计平衡态，但非线性耦合如何驱动热化过程的内在机制尚不明确。传统研究多基于实空间局域模型，难以揭示模态空间中非线性混合的普适规律。

发表于《Journal of Nonlinear Waves》的这项研究，通过构建模态空间中的四阶混合张量理论，建立了非线性晶格热化与张量对称性的直接关联。研究团队以广义离散非线性薛定谔方程（DNLS）为框架，引入描述立方非线性相互作用的混合张量_j,k,l,m，发现其准厄米性（_Tj,k,l,m= _Tl,m,j,k^*）和置换对称性（_Tj,k,l,m= _Tm,l,k,j）是系统趋于Rayleigh-Jeans（RJ）分布的关键条件。通过解析推导Kerr晶格及四类非局域非线性模型的张量结构，并结合大规模数值模拟，研究证实对称性保持的晶格均能热化，而对称性破缺体系（如Ablowitz-Ladik模型）则偏离RJ分布。

关键技术方法

研究采用模态空间动力学方程（公式(2.11)）分析投影系数_cj的演化，其中张量_Tj,k,l,m通过超模（supermode）本征函数（公式(2.9)）显式表达。针对自由晶格（_Vn=0）解析推导张量的闭式解（如Kerr张量的树状分支结构，图1），并利用哈密顿结构（公式(2.22)-(2.24)）验证守恒量。数值模拟中，通过 ensemble averaging（系综平均）400-800组随机相位初始条件（公式(2.16)），以模态占据_?|cj|²?为观测量，对比光学热力学理论预测的RJ分布（公式(3.2)）。逆向建模方法通过预设超模空间短程非线性耦合（公式(6.13)），反推实空间晶格模型（公式(6.14)）。

研究结果

1. Kerr晶格的张量结构与热化

通过解析求解Kerr非线性对应的张量_{Tj,k,l,m^Kerr}（公式(5.5)），发现其元素仅取离散值（如±1/(2M+2)等），且严格满足对称性条件。数值模拟显示，初始随机分布的模态占据（图3绿色菱形）在传播距离_z=10⁴后收敛至RJ分布（图3红色星点），验证光学热力学预测（温度_T=0.153，化学势_μ=-2.48）。

2. 非局域晶格的对称性验证

针对四类非局域非线性（公式(5.11)、(5.17)、(5.22)、(5.30)），研究推导了其张量表达式（如Case I的公式(5.13)），均显示对称性保持。数值模拟中，所有案例的模态占据均趋于RJ分布（图5(a)-(d)），其中Case III（公式(5.22)）在超模65-89区间均匀初始化后，温度_T=0.066，化学势_μ=-2.15。

3. 随机张量的对称性控制实验

通过生成满足对称性条件（公式(6.8)）的随机张量_{Tj,k,l,m^rand}，系统仍热化至RJ分布（图6(a)）；而仅保留准厄米性时，系统趋于能量均分（图6(b)），证明置换对称性对RJ分布的形成不可或缺。

4. 超模局域化对热化速度的影响

在Anderson无序势（图7）下，张量稀疏性随无序强度_W增加而增强。强局域化超模导致非线性耦合项减少，显著延缓热化过程，与已有无序系统慢热化现象一致。

5. 逆向建模揭示非局域耦合的作用

通过构建超模空间短程非线性模型（公式(6.13)），发现耦合范围_N决定热化行为：_N=1时无热化（公式(6.17)）；_N=2时耦合局域，系统未达平衡（图9(a)）；_N≥3时非局域性增强，模态占据逼近RJ分布（图9(b)-(d)）。

6. 对称性破缺系统的非热化现象

Ablowitz-Ladik模型（公式(7.1)）的张量_Tj,k,l,m^AL（图10）打破准厄米性与置换对称性，其模态占据偏离RJ分布且依赖初始条件（图11(a)-(b)）。仅守恒功率的模型（公式(7.9)）因哈密顿结构缺失，仅实现功率均分（图11(c)-(d)）。

结论与意义

本研究通过张量对称性分析，建立了非线性晶格热化的普适判据：当混合张量同时满足准厄米性与置换对称性时，系统必趋于RJ分布。所发展的逆向建模方法为设计可热化晶格提供了新思路。成果不仅深化了对光学多体系统统计力学行为的理解，更为调控非线性波传输（如光子集成电路中的能量分配）奠定了理论基础。未来工作可拓展至二维晶格、量子关联系统及非平衡态动力学研究。